Решить номер 1081

Давайте разберем задачу номер 1081, приведенную на изображении.

Задача 1081:

Нам нужно найти значение выражения \( m \cdot \frac{1}{\log_{20} x} \), если известно, что \( \log_{x} 5 = m \). Также необходимо определить область определения этой функции.

Решение:

1. Анализ условия:

   • Имеем \(\log_{x} 5 = m\).
   • Нужно найти \(\frac{m}{\log_{20} x}\).

2. Логарифмическое преобразование:

   • Сначала выразим \(x\) через данное уравнение: \[ \log_{x} 5 = m \Rightarrow x^m = 5. \] Отсюда \(x = 5^{1/m}\).

3. Используем известные логарифмические свойства: \[ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}. \] Это значит, что: \[ \log_{20} x = \frac{\log x}{\log 20}. \]

4. Подставим \(x = 5^{1/m}\) в \(\log x\): \[ \log x = \log (5^{1/m}) = \frac{1}{m} \cdot \log 5. \]

5. Вычисляем \(\log_{20} x\): \[ \log_{20} x = \frac{\frac{1}{m} \log 5}{\log 20} = \frac{\log 5}{m \cdot \log 20}. \]

6. Ищем выражение для \(\frac{m}{\log_{20} x}\): \[ \frac{m}{\log_{20} x} = \frac{m}{\frac{\log 5}{m \cdot \log 20}} = \frac{m^2 \cdot \log 20}{\log 5}. \]

7. Область определения:

   • \(x > 0\) и \(x \neq 1\), так как основание логарифма не может быть равным нулю или единице.
   • Значение \(m\) также не может быть равно нулю, чтобы выражение \(\frac{1}{m}\) было определено.

Таким образом, значение выражения \(\frac{m}{\log_{20} x} = \frac{m^2 \cdot \log 20}{\log 5}\), при условии, что \(m \neq 0\) и логарифмы определены.