Идеальный газ совершил за цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, работу А'цикл=600 Дж. Температура нагревателя Тк=500 К температура охладителя То=300 К. Определить количество теплоты Q2, отданное газом охладителю за цикл

Дано: Работа цикла \( A'\_{цикл} = 600 \, \text{Дж} \) Температура нагревателя \( T_k = 500 \, \text{K} \) Температура охладителя \( T_o = 300 \, \text{K} \) Цикл состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. На изотермическом процессе: \[ Q = W \] где: \( Q \) - количество теплоты, \( W \) - работа Также, для изотермического процесса: \[ Q = nRT \ln{\left( \frac{V_2}{V_1} \right) } \] где: \( n \) - количество вещества, \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( V_1, V_2 \) - объемы газа на начальном и конечном состояниях соответственно. Для адиабатического процесса: \[ Q = 0 \] Так как адиабатический процесс не включает перехода тепла. Работа цикла вычисляется как разница количеств тепла, поглощенного нагревателем \( Q_1 \), и количества тепла, отданного охладителю \( Q_2 \): \[ A'\_{цикл} = Q_1 - Q_2 \] Так как цикл состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов, примем обозначения: \( Q_1 = Q_{\text{изо1}} + Q_{\text{ади1}} \) \( Q_2 = Q_{\text{изо2}} + Q_{\text{ади2}} \) Для изотермических процессов: \[ Q_{\text{изо1}} = nRT_k \ln{\left( \frac{V_2}{V_1} \right) } = nRT_k \ln{\left( \frac{V_1}{V_{\text{min}}} \right) } \] \[ Q_{\text{изо2}} = nRT_o \ln{\left( \frac{V_3}{V_4} \right) } = nRT_o \ln{\left( \frac{V_{\text{max}}}{V_4} \right) } \] Где \( V_{\text{min}} \) и \( V_{\text{max}} \) - объемы газа на крайних точках изотермического процесса. Для адиабатических процессов: \[ Q_{\text{ади1}} = 0 \] \[ Q_{\text{ади2}} = 0 \] Подставим значения в формулу работы цикла: \[ A'\_{цикл} = nRT_k \ln{\left( \frac{V_1}{V_{\text{min}}} \right) } + nRT_o \ln{\left( \frac{V_{\text{max}}}{V_4} \right) } - nRT_k \ln{\left( \frac{V_1}{V_{\text{min}}} \right) } - nRT_o \ln{\left( \frac{V_{\text{max}}}{V_4} \right) } = Q_1 - Q_2 \] \[ 600 = Q_1 - Q_2 \] \[ Q_2 = Q_1 - 600 \] Из формулы для изотермического процесса: \[ Q_1 = nRT_k \ln{\left( \frac{V_1}{V_{\text{min}}} \right) } + nRT_o \ln{\left( \frac{V_{\text{max}}}{V_4} \right) } \] \[ Q_2 = nRT_o \ln{\left( \frac{V_{\text{max}}}{V_4} \right) } \] Так как процесс адиабатический, объем при адиабатическом процессе связан с температурой и давлением: \[ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \] Где \( \gamma = \frac{C_p}{C_v} \) - показатель адиабаты, \( C_p \) - молярная теплоемкость при постоянном давлении, \( C_v \) - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Следовательно, для адиабатических процессов: \[ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \] \[ T_3 V_{\text{max}}^{\gamma-1} = T_4 V_4^{\gamma-1} \] Также, для изотермических процессов \( T_1 = T_2 = T_k = 500\, \text{K} \) и \( T_3 = T_4 = T_o = 300\, \text{K} \), а также \( \gamma = \frac{5}{3} \) для моноатомного идеального газа. Подставим это в уравнения: Для изотермического процесса: \[ T_1 V_1 = T_{\text{min}} V_{\text{min}} \] \[ 500 \cdot V_1 = 500 \cdot V_{\text{min}} \] \[ V_1 = V_{\text{min}} \] \[ T_3 V_{\text{max}} = T_4 V_4 \] \[ 300 \cdot V_{\text{max}} = 300 \cdot V_4 \] \[ V_{\text{max}} = V_4 \] Теперь мы можем записать \( Q_2 \) как: \[ Q_2 = nRT_o \ln{\left( \frac{V_{\text{max}}}{V_4} \right) } = nRT_o \ln{\left( \frac{V_4}{V_4} \right) } = 0 \] Следовательно, количество теплоты \( Q_2 \), отданное газом охладителю за цикл, равно \( 0 \).