реши задачи на фото
Давайте рассмотрим каждую задачу отдельно и разберёмся с решением.
381 (а).
Даны:
- 9 металлических и 2 деревянных стула, которые нужно расставить вокруг круглого стола.
Требуется:
- Найти вероятность того, что деревянные стулья будут рядом.
Для решения задачи удобно использовать теорию комбинаторики. Как известно, вероятность события \( P(A) \) можно найти как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
\[ P(A) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} \]
Общее число исходов:
Расставляя 11 стульев по кругу, мы фиксируем один стул (из-за круговой симметрии), а остальные 10 можем расставить в любой из \(10!\) способов:
\[ \text{Общее число способов} = 10! \]
Благоприятные исходы:
Рассмотрим два деревянных стула как один единый объект или "супер-стул". Тогда у нас получается 10 объектов (9 металлических стульев и 1 "супер-стул").
Эти 10 объектов можно расставить по кругу:
\[ 9! \text{ способов} \]
Внутри "супер-стула" два деревянных стула могут быть поменяны местами, что даёт 2 способа на внутреннюю перестановку:
\[ 9! \times 2 \text{ благоприятных способа} \]
Подставляем всё в формулу вероятности:
\[ P(A) = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \]
Ответ: \(\frac{1}{5}\).
381 (б).
Даны:
- 7 девочек и 2 мальчика.
Требуется:
- Найти вероятность того, что мальчики не будут стоять рядом в хороводе.
Общее число исходов:
Расставляя 9 человек по кругу, фиксируем одного человека, а остальных 8 можем расставить в \(8!\) способах:
\[ \text{Общее число способов} = 8! \]
Благоприятные исходы:
Найдём сначала неблагоприятные исходы — когда два мальчика стоят рядом. Можно их снова считать как "супер-объект". Тогда будет 8 объектов (7 девочек и 1 "супер-объект").
Эти 8 объектов можно расставить по кругу:
\[ 7! \text{ способов} \]
Внутри "супер-объекта" 2 мальчика могут меняться местами, что добавляет 2 способа перестановки:
\[ 7! \times 2 \text{ неблагоприятных способов} \]
Тогда число благоприятных исходов, когда мальчики не рядом:
\[ 8! - 7! \times 2 \]
Вероятность:
\[ P(B) = \frac{8! - 7! \times 2}{8!} = \frac{40320 - 10080}{40320} = \frac{30240}{40320} = \frac{3}{4} \]
Ответ: \(\frac{3}{4}\).
382 (а).
Даны:
- Вероятность того, что купленный фонарик не работает = 0.3.
Требуется:
- Найти вероятность того, что все три фонарика исправны.
Вероятность того, что один фонарик исправен = \(1 - 0.3 = 0.7\).
Для трёх независимых событий (исправности каждого из трёх фонариков):
\[ P(\text{все исправны}) = 0.7 \times 0.7 \times 0.7 = 0.7^3 = 0.343 \]
Ответ: 0.343.
382 (б).
Требуется:
- Найти вероятность того, что хотя бы один фонарик неисправен.
Вероятность того, что хотя бы один неисправен — это обратная вероятность того, что все фонарики исправны:
\[ P(\text{хотя бы один неисправен}) = 1 - P(\text{все исправны}) \]
\[ P(\text{хотя бы один неисправен}) = 1 - 0.343 = 0.657 \]
Ответ: 0.657.
382 (в).
Даны:
- Вероятность того, что купленный фонарик не работает = 0.8.
Требуется:
- Найти вероятность того, что хотя бы один из фонариков исправен.
Вероятность того, что один фонарик исправен = \(1 - 0.8 = 0.2\).
Вероятность того, что все три фонарика не работают:
\[ P(\text{все неисправны}) = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.8^3 = 0.512 \]
Вероятность того, что хотя бы один фонарик исправен — это обратная вероятность того, что все фонарики не работают:
\[ P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - P(\text{все неисправны}) \]
\[ P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - 0.512 = 0.488 \]
Ответ: 0.488.
