Реши задачи на фото

Давайте рассмотрим каждую задачу отдельно и разберёмся с решением. **381 (а).** Даны: - 9 металлических и 2 деревянных стула, которые нужно расставить вокруг круглого стола. Требуется: - Найти вероятность того, что деревянные стулья будут рядом. Для решения задачи удобно использовать теорию комбинаторики. Как известно, вероятность события \( P(A) \) можно найти как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: \[ P(A) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} \] 1. **Общее число исходов:** Расставляя 11 стульев по кругу, мы фиксируем один стул (из-за круговой симметрии), а остальные 10 можем расставить в любой из \(10!\) способов: \[ \text{Общее число способов} = 10! \] 2. **Благоприятные исходы:** Рассмотрим два деревянных стула как один единый объект или "супер-стул". Тогда у нас получается 10 объектов (9 металлических стульев и 1 "супер-стул"). Эти 10 объектов можно расставить по кругу: \[ 9! \text{ способов} \] Внутри "супер-стула" два деревянных стула могут быть поменяны местами, что даёт 2 способа на внутреннюю перестановку: \[ 9! \times 2 \text{ благоприятных способа} \] 3. **Подставляем всё в формулу вероятности:** \[ P(A) = \frac{9! \times 2}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] Ответ: \(\frac{1}{5}\). --- **381 (б).** Даны: - 7 девочек и 2 мальчика. Требуется: - Найти вероятность того, что мальчики не будут стоять рядом в хороводе. 1. **Общее число исходов:** Расставляя 9 человек по кругу, фиксируем одного человека, а остальных 8 можем расставить в \(8!\) способах: \[ \text{Общее число способов} = 8! \] 2. **Благоприятные исходы:** Найдём сначала неблагоприятные исходы — когда два мальчика стоят рядом. Можно их снова считать как "супер-объект". Тогда будет 8 объектов (7 девочек и 1 "супер-объект"). Эти 8 объектов можно расставить по кругу: \[ 7! \text{ способов} \] Внутри "супер-объекта" 2 мальчика могут меняться местами, что добавляет 2 способа перестановки: \[ 7! \times 2 \text{ неблагоприятных способов} \] Тогда число благоприятных исходов, когда мальчики не рядом: \[ 8! - 7! \times 2 \] 3. **Вероятность:** \[ P(B) = \frac{8! - 7! \times 2}{8!} = \frac{40320 - 10080}{40320} = \frac{30240}{40320} = \frac{3}{4} \] Ответ: \(\frac{3}{4}\). --- **382 (а).** Даны: - Вероятность того, что купленный фонарик не работает = 0.3. Требуется: - Найти вероятность того, что все три фонарика исправны. Вероятность того, что один фонарик исправен = \(1 - 0.3 = 0.7\). Для трёх независимых событий (исправности каждого из трёх фонариков): \[ P(\text{все исправны}) = 0.7 \times 0.7 \times 0.7 = 0.7^3 = 0.343 \] Ответ: 0.343. --- **382 (б).** Требуется: - Найти вероятность того, что хотя бы один фонарик неисправен. Вероятность того, что хотя бы один неисправен — это обратная вероятность того, что все фонарики исправны: \[ P(\text{хотя бы один неисправен}) = 1 - P(\text{все исправны}) \] \[ P(\text{хотя бы один неисправен}) = 1 - 0.343 = 0.657 \] Ответ: 0.657. --- **382 (в).** Даны: - Вероятность того, что купленный фонарик не работает = 0.8. Требуется: - Найти вероятность того, что хотя бы один из фонариков исправен. Вероятность того, что один фонарик исправен = \(1 - 0.8 = 0.2\). Вероятность того, что все три фонарика не работают: \[ P(\text{все неисправны}) = 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 0.8^3 = 0.512 \] Вероятность того, что хотя бы один фонарик исправен — это обратная вероятность того, что все фонарики не работают: \[ P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - P(\text{все неисправны}) \] \[ P(\text{хотя бы один исправен}) = 1 - 0.512 = 0.488 \] Ответ: 0.488.