Напиши ответ

Давайте решим задачу по шагам. 1. **Доказать, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)** Это одно из основных тригонометрических тождеств. Оно следует из определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике. Используя единичную окружность (окружность радиуса 1), мы можем увидеть это следующим образом: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Доказательство этого равенства основано на определении: \[ x^2 + y^2 = 1 \] где \(x = \cos \alpha\) и \(y = \sin \alpha\). Подстановка этих значений в уравнение круга приводит нас к нужному результату. 2. **Упростить выражение \(\frac{1 - \cos 2\beta}{2} = \sin^2 \beta\)** Мы можем использовать половинное формулы косинуса: \[ \cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta \] Подставляем в уравнение: \[ \frac{1 - \cos 2\beta}{2} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 \beta)}{2} = \frac{2\sin^2 \beta}{2} = \sin^2 \beta \] Таким образом, доказательство завершено. 3. **Построить выражение:** \[ \frac{1 - \cos(2\beta)}{\sin^2 \beta} = \frac{2\sin^2 \beta}{\sin^2 \beta} = 2 \] \(a)\) \((1 - \cos 2\alpha) = 2\sin^2 \alpha\) Взяв формулу удвоенного угла: \[ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha \] Это приводит нас к следующему шагу: \[ \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2 \] Таким образом, все три пункта подтверждают идентичность формул и выражений.