Напиши ответ
Давайте решим задачу по шагам.
Доказать, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
Это одно из основных тригонометрических тождеств. Оно следует из определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике. Используя единичную окружность (окружность радиуса 1), мы можем увидеть это следующим образом:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Доказательство этого равенства основано на определении:
\[ x^2 + y^2 = 1 \]
где \(x = \cos \alpha\) и \(y = \sin \alpha\). Подстановка этих значений в уравнение круга приводит нас к нужному результату.
Упростить выражение \(\frac{1 - \cos 2\beta}{2} = \sin^2 \beta\)
Мы можем использовать половинное формулы косинуса:
\[ \cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta \]
Подставляем в уравнение:
\[ \frac{1 - \cos 2\beta}{2} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 \beta)}{2} = \frac{2\sin^2 \beta}{2} = \sin^2 \beta \]
Таким образом, доказательство завершено.
Построить выражение:
\[ \frac{1 - \cos(2\beta)}{\sin^2 \beta} = \frac{2\sin^2 \beta}{\sin^2 \beta} = 2 \]
\(a)\) \((1 - \cos 2\alpha) = 2\sin^2 \alpha\)
Взяв формулу удвоенного угла:
\[ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha \]
Это приводит нас к следующему шагу:
\[ \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 2 \]
Таким образом, все три пункта подтверждают идентичность формул и выражений.
