Для корректного расстановки знаков препинания в данном тексте, прежде всего необходимо выявить места, где должны стоять запятые.
"Александра Павловна поспешно распечатала письмо своего брата":
- Запятая не требуется.
"Оно состояло в нескольких строках":
- Запятая не требуется.
"В первом порыве радости он уведомлял сестру (1) что сделал предложение Наталье (2) получил её согласие (3) и Дарьи Михайловны (4) обещался больше написать с первой почтой (5) и заочно всех обнимал (6) и целовал":
- 1, 2, 3, 4, 5, 6: требуются запятые перед каждым числом.
"Видно было (7) что он писал в каком-то чаду":
- Запятая не требуется.
"Подали чай (8) усадили Басистова":
- Запятая не требуется.
"Расспросы посыпались на него градом":
- Запятая не требуется.
"Всех обрадовало известие (9) привезённое им":
- Запятая не требуется.
Итак, после коррекции знаков препинания текст будет выглядеть следующим образом:
"Александра Павловна поспешно распечатала письмо своего брата. Оно состояло в нескольких строках. В первом порыве радости он уведомлял сестру, что сделал предложение Наталье, получил её согласие, и Дарьи Михайловны, обещался больше написать с первой почтой, и заочно всех обнимал, и целовал. Видно было, что он писал в каком-то чаду. Подали чай, усадили Басистова. Расспросы посыпались на него градом. Всех обрадовало известие, привезённое им."