Найдите наименьшее значение функции y=9+Pi/2-2x-2√2cosx на отрезке [0; Pi/2]

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 9 + \frac{\pi}{2} - 2x - 2\sqrt{2} \cos{x} \) на отрезке \( [\frac{0}{\pi}}{2}] \), необходимо найти критические точки в данном интервале.

1. Найдем производную функции \( y = 9 + \frac{\pi}{2} - 2x - 2\sqrt{2} \cos{x} \) по переменной \( x \):
   \( y' = -2 + 2\sqrt{2}\sin{x} \) (производная сложной функции).

2. Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю и найдем значения \( x \) на отрезке \( [0;\frac{\pi}{2}] \), при которых производная равна нулю:
   \( -2 + 2\sqrt{2}\sin{x} = 0 \)
   \( \sin{x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
   \( x = \frac{\pi}{4} \).

3. Теперь найдем значения \( y \) при \( x = 0, x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \):
   \( x = 0 \):
   \( y = 9 + \frac{\pi}{2} - 2(0) - 2\sqrt{2}\cos(0) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2 \approx 7.57 \)

   \( x = \frac{\pi}{4} \):
   \( y = 9 + \frac{\pi}{2} - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 9 + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 9 \)

   \( x = \frac{\pi}{2} \):
   \( y = 9 + \frac{\pi}{2} - 2\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 9 + \frac{\pi}{2} - \pi - 2\sqrt{2}(0) = 9 \)

4. Сравним значения в найденных точках \( x \) и выберем наименьшее:
   \( y(0) \approx 7.57 \)
   \( y(\frac{\pi}{4}) = 9 \)
   \( y(\frac{\pi}{2}) = 9 \)

Итак, наименьшее значение функции на отрезке \( [0;\frac{\pi}{2}] \) равно 9, достигается при \( x = \frac{\pi}{4} \).