Симметричный игральный кубик бросают два раза. Сумма выпавших очков оказалась не меньше чем 5, но не больше чем 8. Какова при этом условии вероятность того, что во второй раз…

Для решения этой задачи можно составить таблицу всех возможных исходов.

Пусть \(X_1\) - количество очков, выпавших в первый раз, а \(X_2\) - количество очков, выпавших во второй раз.

Первое бросание кубика:

\(X_1 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) - все возможные исходы равновероятны, поэтому \(P(X_1 = i) = \frac{1}{6}, i = 1, 2, ..., 6\)

Второе бросание кубика:

\(X_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) - также все возможные исходы равновероятны, поэтому \(P(X_2 = j) = \frac{1}{6}, j = 1, 2, ..., 6\)

Сумма очков не менее 5 и не более 8. Таким образом, возможные комбинации это (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 2).

Теперь нам нужно определить вероятность того, что во второй раз выпадет столько же очков, сколько в первый раз:

Пусть \(A\) - событие, что во второй раз выпадет столько же очков, сколько в первый раз.

Теперь найдем вероятность суммы очков равной 5, 6, 7 или 8 в одном испытании: \[P(A) = P(X_1 + X_2 = 5) + P(X_1 + X_2 = 6) + P(X_1 + X_2 = 7) + P(X_1 + X_2 = 8)\]

Найдем вероятность каждой суммы:

\[P(X_1 + X_2 = 5) = P(X_1 = 2, X_2 = 3) + P(X_1 = 3, X_2 = 2) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}\] \[P(X_1 + X_2 = 6) = P(X_1 = 1, X_2 = 5) + P(X_1 = 5, X_2 = 1) + P(X_1 = 2, X_2 = 4) + P(X_1 = 4, X_2 = 2) + P(X_1 = 3, X_2 = 3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}= \frac{5}{18}\] \[P(X_1 + X_2 = 7) = P(X_1 = 1, X_2 = 6) + P(X_1 = 6, X_2 = 1) + P(X_1 = 2, X_2 = 5) + P(X_1 = 5, X_2 = 2) + P(X_1 = 3, X_2 = 4) + P(X_1 = 4, X_2 = 3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\] \[P(X_1 + X_2 = 8) = P(X_1 = 2, X_2 = 6) + P(X_1 = 6, X_2 = 2) + P(X_1 = 3, X_2 = 5) + P(X_1 = 5, X_2 = 3) + P(X_1 = 4, X_2 = 4) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9}\]

Теперь суммируем вероятности:

\[P(A) = \frac{1}{18} + \frac{5}{18} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{11}{18}\]

Таким образом, вероятность того, что во второй раз выпадет столько же очков, сколько в первый, при условии суммы очков от 5 до 8, равна \(\frac{11}{18}\).