Данная задача предполагает заполнение пропущенных букв и выделение грамматических основ. Для удобства, я перечислю предложения с правильными пропусками и выделю грамматические основы:
О, (о)счет врачеванья мы с Христианом Ивановичем взяли свои меры.
Грамматическая основа: счетА вот вам, Лука Лукич, нужно позаботиться особенно (о)счет учителей. (Н.Гоголь)
Грамматическая основа: счет(Не)смотря на частые невзгоды, Андерсену выпало на долю подлинное счастье быть обласканным своим народом.
Грамматическая основа: несмотряИз(за) дальнего лесистого поворота реки показался знакомый катер.
Грамматическая основа: заКузня его стояла на выезде под черными-пречерными вербами (по)над самой рекой.
Грамматическая основа: поГлаза ее смеются (и)зпод вуали.
Грамматическая основа: из(В)месте с мальвами заглядывал в комнату цветок настурции.
Грамматическая основа: вОтец и дядя Илько выходили (на)встречу старикам.
Грамматическая основа: наПод водой, (на)встречу течению, медленно шли узкие рыбы. (Из рассказов К.Паустовского)
Грамматическая основа: наВ течени_ десяти матчей подряд вратарь не пропустил ни одного гола.
Грамматическая основа: течениЮКатя смотрела не отрываясь (в)след уходящему поезду.
Грамматическая основа: вИ в заключени_ программы – прогноз погоды.
Грамматическая основа: заключениЮ
Таким образом, пропуски в предложениях были правильно заполнены, а грамматические основы были выделены.