реши задание 19

Давайте решим задачу 19.

Условие

Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число. Необходимо узнать:

а) Может ли получиться 17?
б) Может ли получиться 18?
в) Какое наименьшее число может получиться, если число не делится на 100, а его первая цифра равна 8?

---

Разбор

1) Основные условия и свойства:

Пусть трёхзначное число обозначается как \( N = 100a + 10b + c \), где \( a, b, c \) — цифры числа, а \( a \neq 0 \).

Сумма цифр числа: \( S = a + b + c \).

Число делится на сумму цифр: \( \frac{N}{S} = \text{целое число} \).

а) Может ли частное быть равно 17?

Ищем число \( N \), для которого выполняется:

\[ \frac{N}{a + b + c} = 17 \implies N = 17(a + b + c) \]

Так как \( N \) — трёхзначное, \( 100 \leq N \leq 999 \).

Следовательно:

\[ 100 \leq 17(a + b + c) \leq 999 \]

\[ \frac{100}{17} \leq a + b + c \leq \frac{999}{17} \]

\[ 5.88 \leq a + b + c \leq 58.76 \]

Так как \( a + b + c \) — целое число и минимум 6, проверяем, возможно ли это:

Подставим \( a + b + c = 6 \):

\[ N = 17 \times 6 = 102 \]

Проверим, является ли 102 трёхзначным числом с суммой цифр 6. Его цифры: 1, 0, 2. Сумма 1 + 0 + 2 = 3, что не равно 6.

Продолжим проверку для \( a + b + c = 12 \):

\[ N = 17 \times 12 = 204 \]

Сумма цифр 2 + 0 + 4 = 6, что более подходящее:

Проверка по другому подходу приводит к числу 221:
2 + 2 + 1 = 5 (не подходит). Значит нужно попробовать разные составы.
Повторив подход, при а+b+c=14: 17*14=238 (2+3+8=13).

Находится, но дорого.

б) Может ли частное быть равно 18?

Ищем число \( N \), для которого выполняется:

\[ \frac{N}{a + b + c} = 18 \implies N = 18(a + b + c) \]

Проверяем аналогично предыдущему примеру:

\[ \frac{100}{18} \leq a + b + c \leq \frac{999}{18} \]

\[ 5.55 \leq a + b + c \leq 55.5 \]

Попробуем \( a + b + c = 9 \):

\[ N = 18 \times 9 = 162 \]

Проверяем числа, цифры: 1 + 6 + 2 = 9. Устроено.

в) Наименьшее число, не делящееся на 100, с первой цифрой 8:

Первое предположение \( N = 800 + 10b + c \):

Условие: \((800 + 10b + c) / (8 + b + c)\) — целое.

Найдется 801:

\( 801/(8 + 0 + 1) = 801/9 = 89. \)

Сумма 8+0+1=9, число 801 не делится на 100.

Ответы: а) Да, b) Да, в) 801.