Давайте проанализируем каждое предложение поочередно:
Предложение 1: "Аркадий Петрович Гайдар русский советский писатель, который знаком многим из нас благодаря многочисленным повестям и рассказам."
Верное утверждение: Предложение 1 осложнено обособленным обстоятельством, выраженным деепричастным оборотом.
Предложение 2: "«Тимур и его команда», «Чук и Гек», «Школа», «Дальние страны» на этих произведениях выросло несколько поколений читателей, мечтавших о преданной дружбе, взаимопомощи и справедливости."
Верное утверждение: Предложение 2 является сложным бессоюзным.
Предложение 3: "Хотя писатель посвятил большое количество произведений детству и юношеству, самому Аркадию пришлось рано повзрослеть из-за революции и Гражданской войны: в 13 лет мальчик уже состоял в боевой дружине, а в 16 лет командовал полком."
Нет утверждения о предложении 3.
Предложение 4: "Во время Великой Отечественной войны Гайдар начал работать военным корреспондентом в газете «Комсомольская правда», в которой публиковал многочисленные очерки."
Верное утверждение: Предложение 4 - сложноподчинённое с придаточным определительным.
Предложение 5: "Получивший несколько ранений и участвовавший в двух войнах писатель сохранил в своём сердце веру в добро и счастье, сумел рассказать об этом своим юным читателям."
Верное утверждение: Предложение 5 содержит 2 (две) грамматические основы.
Таким образом, верные варианты ответов на вопрос: 1, 2, 4, 15.