К окружности с центром O проведена касательная AB (A – точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.

Дано: \( OB = 10\, \text{см} \), \( \angle ABO = 30^\circ \) Чтобы найти радиус окружности, обратим внимание на то, что радиус касательно окружности перпендикулярен касательной в точке касания. Таким образом, \( \angle OBA = 90^\circ \) (по свойству касательной и радиуса, образующих прямой угол). Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \( \triangle OBA \) с гипотенузой \( OB = 10\, \text{см} \) и известным углом \( \angle ABO = 30^\circ \). Чтобы найти радиус окружности, который является катетом этого треугольника, мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями синуса и косинуса. Рассмотрим синус угла \( \angle ABO \): \[ \sin 30^\circ = \frac{AB}{OB} \] \[ \sin 30^\circ = \frac{r}{10} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{r}{10} \] \[ r = 10 \cdot \frac{1}{2} \] \[ r = 5\, \text{см} \] Таким образом, радиус окружности \( r = 5\, \text{см} \).