Дано: количество городов в стране равно 56.
Чтобы решить эту задачу, давайте выведем формулу для определения минимального количества железных дорог, которые должна построить железнодорожная компания.
Пойдем от противного: предположим, что каждый город соединен с каждым другим городом прямой железной дорогой. Тогда каждый город имел бы прямое сообщение с каждым другим городом без пересадок. Но это означало бы, что у нас имелось бы ${56 \choose 2} = \frac{56 \times 55}{2} = 1540$ дорог, что весьма расточительно.
Мы можем уменьшить количество дорог, соединяя города через транзитные города таким образом, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой город с максимум двумя пересадками. Можно применить принцип транзитивности, чтобы сделать это более эффективно.
Давайте разобьем города на кластеры таким образом, чтобы внутри кластера все города были связаны друг с другом прямыми дорогами, а затем будем соединять эти кластеры между собой.
Пусть каждый кластер будет полным графом (т.е., каждый город связан с каждым другим). Тогда нам нужно определить наименьшее количество кластеров, чтобы каждый город был связан с каждым другим не более чем двумя пересадками.
Оказывается, что оптимальное количество кластеров - это количество простых чисел, меньших или равных 56. Эти простые числа будут являться размером каждого кластера. Таким образом, нам нужно знать сколько простых чисел меньше или равно 56.
Простые числа меньшие или равные 56: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 (всего 16 чисел).
Следовательно, железнодорожная компания должна построить 16 кластеров, где каждый кластер будет состоять из простого числа городов. Затем соединяя эти кластеры друг с другом, компания должна построить 16 железных дорог между кластерами.
Таким образом, железнодорожной компании потребуется всего 16 железных дорог для обеспечения требуемых связей между городами.
