Контрольная работа "Углы и расстояния" Вариант 1 № 1. Из точки D, которая лежит вне плоскости α, проведены к этой плоскости наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите длину проекции наклонной DK на плоскость α, если DB = 10√3 см. № 2. Точка A принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от другой грани на 8 см. Найдите расстояние от точки A до ребра двугранного угла, если величина этого угла равна 45°. № 3. Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен 45°. Треугольник ABC — равносторонний со стороной 4√3 см, треугольник ABD — равнобедренный, AD = BD = √14 см. Найдите отрезок CD. № 4. Концы отрезка, длина которого равна 5√5 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояние от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равно 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей. № 5. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите синусы углов, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.

**Решение:** **№ 1.** Дано: Угол между наклонной DK и плоскостью α = 45°, угол между наклонной DB и плоскостью α = 60°, длина DB = 10√3 см. Чтобы найти длину проекции наклонной DK на плоскость α, обозначим эту длину за x. Так как проекция DK на плоскость α проходит перпендикулярно, у нас образуется прямоугольный треугольник DKX, где X - точка проекции. Из прямоугольного треугольника DKX мы можем использовать функции тригонометрии. Мы знаем, что тангенс угла наклона наклонной DK равен x/DK, где DK - гипотенуза треугольника DKX. Тангенс угла 45° равен tg(45°) = x/DK = 1. Так как DK = DB = 10√3 см, получаем x = 10√3. **Ответ:** Длина проекции наклонной DK на плоскость α равна 10√3 см. **№ 2.** Дано: Угол между гранями двугранного угла = 45°, расстояние между точкой A и одной гранью = 8 см. Чтобы найти расстояние от точки A до ребра двугранного угла, обозначим это расстояние за x. Если провести высоту треугольника из вершины угла двугранного угла на его основание, то получится равнобедренный прямоугольный треугольник. Так как угол равен 45°, то оба катета равны, и мы можем использовать тригонометрические функции. Согласно теореме синусов в треугольнике, получаем sin(45°) = x/8, откуда x = 8*sin(45°). Синус угла 45° равен √2/2, поэтому x = 8*√2/2 = 4√2 см. **Ответ:** Расстояние от точки A до ребра двугранного угла равно 4√2 см. (Продолжение следует)