Первенство клуба «Славяне» по игре в дартс проходит в несколько кругов. При очной встрече двух спортсменов в следующий круг выходит тот, кто первым одержит 2 победы над…
Первенство клуба «Славяне» по игре в дартс проходит в несколько кругов. При очной встрече двух спортсменов в следующий круг выходит тот, кто первым одержит 2 победы над соперником. Спортсмены Анатолий и Юрий встретились в одном круге, и судья бросил жребий, кто первым начнёт игру. В каждой следующей игре право начинать игру переходит к сопернику. Если Анатолий начинает игру первым, то он побеждает с вероятностью 0,6, если же вторым, то с вероятностью 0,4. Найди вероятность того, что Анатолий выйдет в следующий круг, если по жребию он начал игру первым?
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать метод последовательных испытаний.
Пусть событие \(A\) означает, что Анатолий побеждает в игре, и событие \(B\) означает, что Юрий побеждает в игре. По условию задачи известно, что вероятность того, что Анатолий победит, если он начнет игру первым, равна \(0.6\), то есть \(\text{P}(A| \text{начал первым}) = 0.6\), и вероятность того, что Анатолий победит, если он начнет игру вторым, равна \(0.4\), то есть \(\text{P}(A| \text{начал вторым}) = 0.4\).
Также по условию нам известно, что в следующем круге выходит тот, кто первым одерживает 2 победы. Поскольку Анатолий начинает первым, он должен одержать 2 победы из 3 возможных ситуаций:
- АА - победы Анатолия в первой и второй играх;
- ААУ - победы Анатолия в первой и третьей играх;
- АУА - победы Анатолия во второй и третьей играх.
Теперь рассмотрим каждую из этих ситуаций:
Событие АА:
- Вероятность этого события: \(\text{P}(A) \cdot \text{P}(A| \text{начал первым}) = 0.6 \cdot 0.6 = 0.36\).
Событие ААУ:
- Вероятность этого события: \(\text{P}(A) \cdot \text{P}(B) \cdot \text{P}(A| \text{начал вторым}) = 0.6 \cdot 0.4 \cdot 0.4 = 0.096\).
Событие АУА:
- Вероятность этого события: \(\text{P}(A) \cdot \text{P}(B) \cdot \text{P}(A| \text{начал первым}) = 0.6 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 0.144\).
Итак, общая вероятность того, что Анатолий выиграет в следующем круге, начав игру первым, равна сумме вероятностей данных событий:
\[\text{P}(\text{выйдет в следующий круг}) = 0.36 + 0.096 + 0.144 = 0.6\]Таким образом, вероятность того, что Анатолий выйдет в следующем круге, если он начал игру первым, равна \(0.6\) или \(60\%\).
