Решите уравнение

Давайте разберёмся с данным уравнением:

\[ \sqrt{7 + \sqrt{x}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{x}} \]

Шаг 1: Устранение квадратных корней

Для начала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешних квадратных корней:

\[ (\sqrt{7 + \sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20 - 2\sqrt{x}})^2 \]

Это упростится до:

\[ 7 + \sqrt{x} = 20 - 2\sqrt{x} \]

Шаг 2: Приведение подобного

Теперь перенесём все члены с \(\sqrt{x}\) в одну сторону и свободные члены в другую:

\[ \sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20 - 7 \]

\[ 3\sqrt{x} = 13 \]

Шаг 3: Изоляция \(\sqrt{x}\)

Разделим обе стороны на 3, чтобы найти \(\sqrt{x}\):

\[ \sqrt{x} = \frac{13}{3} \]

Шаг 4: Возведение в квадрат

Теперь возведём обе стороны в квадрат, чтобы найти \(x\):

\[ (\sqrt{x})^2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2 \]

\[ x = \frac{169}{9} \]

Шаг 5: Проверка

Подставим найденное значение \(x = \frac{169}{9}\) обратно в изначальное уравнение для проверки:

\[ \sqrt{7 + \sqrt{\frac{169}{9}}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{\frac{169}{9}}} \]

Найдем \(\sqrt{\frac{169}{9}} = \frac{13}{3}\), затем:

\[ 7 + \frac{13}{3} = \frac{21}{3} + \frac{13}{3} = \frac{34}{3} \]

\[ 20 - 2 \times \frac{13}{3} = \frac{60}{3} - \frac{26}{3} = \frac{34}{3} \]

Обе стороны равны, следовательно, наше решение верно.

Ответ

\(x = \frac{169}{9}\)