Давайте разберёмся с данным уравнением:
[
\sqrt{7 + \sqrt{x}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{x}}
]
Шаг 1: Устранение квадратных корней
Для начала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешних квадратных корней:
[
(\sqrt{7 + \sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20 - 2\sqrt{x}})^2
]
Это упростится до:
[
7 + \sqrt{x} = 20 - 2\sqrt{x}
]
Шаг 2: Приведение подобного
Теперь перенесём все члены с (\sqrt{x}) в одну сторону и свободные члены в другую:
[
\sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20 - 7
]
[
3\sqrt{x} = 13
]
Шаг 3: Изоляция (\sqrt{x})
Разделим обе стороны на 3, чтобы найти (\sqrt{x}):
[
\sqrt{x} = \frac{13}{3}
]
Шаг 4: Возведение в квадрат
Теперь возведём обе стороны в квадрат, чтобы найти (x):
[
(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{13}{3}\right)^2
]
[
x = \frac{169}{9}
]
Шаг 5: Проверка
Подставим найденное значение (x = \frac{169}{9}) обратно в изначальное уравнение для проверки:
[
\sqrt{7 + \sqrt{\frac{169}{9}}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{\frac{169}{9}}}
]
Найдем (\sqrt{\frac{169}{9}} = \frac{13}{3}), затем:
[
7 + \frac{13}{3} = \frac{21}{3} + \frac{13}{3} = \frac{34}{3}
]
[
20 - 2 \times \frac{13}{3} = \frac{60}{3} - \frac{26}{3} = \frac{34}{3}
]
Обе стороны равны, следовательно, наше решение верно.
Ответ
(x = \frac{169}{9})
