4. в четырёхугольник аbcd, периметр которого равен 54. вписана окружность, ab = 24. найдите длину стороны cd.

**Решение:** 1. Обозначим: - \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) - длины сторон четырехугольника \( ABCD \). - \( r \) - радиус вписанной окружности. 2. Известно: - Периметр четырехугольника \( ABCD \) равен 54: \( a + b + c + d = 54 \) (1) - Длина стороны \( AB = 24 \) и равна сумме двух радиусов вписанной окружности и большей диагонали: \( AB = 2r + c + d \) (2) 3. Так как сторона \( AB \) равна 24, а сторона \( CD \) - \( c + d \), запишем формулу для периметра четырехугольника: \[ a + b + c + d = 24 + 24 + c + d = 48 + c + d \] 4. Из уравнения (1) и (3) следует: \[ 48 + c + d = 54 \] \[ c + d = 54 - 48 = 6 \] 5. Теперь, подставив \( c + d = 6 \) в уравнение (2), получим: \[ 24 = 2r + 6 \] \[ 2r = 24 - 6 \] \[ 2r = 18 \] \[ r = 9 \] 6. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 9, а длина стороны \( CD \) (то есть \( c + d \)) равна 6. Ответ: Длина стороны \( CD \) равна 6.