4. в четырёхугольник аbcd, периметр которого равен 54. вписана окружность, ab = 24. найдите длину стороны cd.

Решение:

1. Обозначим:

   • \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) - длины сторон четырехугольника \( ABCD \).
   • \( r \) - радиус вписанной окружности.

2. Известно:

   • Периметр четырехугольника \( ABCD \) равен 54:
     \( a + b + c + d = 54 \) (1)
   • Длина стороны \( AB = 24 \) и равна сумме двух радиусов вписанной окружности и большей диагонали:
     \( AB = 2r + c + d \) (2)

3. Так как сторона \( AB \) равна 24, а сторона \( CD \) - \( c + d \), запишем формулу для периметра четырехугольника: \[ a + b + c + d = 24 + 24 + c + d = 48 + c + d \]

4. Из уравнения (1) и (3) следует: \[ 48 + c + d = 54 \] \[ c + d = 54 - 48 = 6 \]

5. Теперь, подставив \( c + d = 6 \) в уравнение (2), получим: \[ 24 = 2r + 6 \] \[ 2r = 24 - 6 \] \[ 2r = 18 \] \[ r = 9 \]

6. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 9, а длина стороны \( CD \) (то есть \( c + d \)) равна 6.
   Ответ: Длина стороны \( CD \) равна 6.