Вычислить
Давайте решим каждую из задач подробно.
1) \( 4^{\log_{4} 7} \)
Используем свойство логарифма и степени, которое говорит, что \( a^{\log_{a} b} = b \).
Таким образом, исходное выражение упрощается: \[ 4^{\log_{4} 7} = 7 \]
2) \( 9 \log_{9} 8 \)
Рассмотрим выражение \( a \log_{a} b \). Это можно переписать как \( \log_{a} b^{a} \).
Таким образом: \[ 9 \log_{9} 8 = \log_{9} 8^9 \]
Поскольку основание и логарифмирование выпадают из упрощения, нам нужно знать \( \log_{9} 8^9 \), который равен просто числу после логарифмирования, то есть не совсем числовое значение в этом преобразовании в явном виде, но сам по себе процесс дает возможность видеть, какое число стоит быть под 9-й степенью.
Поэтому: \[ 9 \log_{9} 8 = 8^1 = 8 \]
3) \(\left( \frac{2}{5} \right)^{2 - 3 \log_{2.5} 2} \)
Сначала упростим выражение в показателе:
Заменим основание логарифма: \(\log_{2.5} 2\) можно записать через логарифмы с основанием 10, но заметим, что \(2.5 = \frac{5}{2}\). Поэтому \[ \log_{2.5} 2 = \log_{(\frac{5}{2})}(2) = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 2.5} \]
Упрощение будет сложным рациональным числом, но для решения: Переписываем: \(\left( \frac{2}{5} \right)^{2 - 3 \cdot \log_{2.5} 2}\)
Так можем провести оценочное вычитание.
Используем свойство логарифмов и упрощаем. Для практического примера: \[ \left( \frac{2}{5} \right)^{2 - 3 \cdot 0.5} \] \[ \left( \frac{2}{5} \right)^{0.5} \]
То есть вы получите квадратный корень из: \[ \sqrt{\frac{2}{5}} \]
Решив задачу, получаем: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2/5} = \frac{2}{5} \]
Поэтому оценочное числовое значение зависимости от логарифмического выражения сформировано.
Если есть еще вопросы или нужно более подробное объяснение, пожалуйста, сообщите!
