При каких значениях переменной x имеет смысл выражения

Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл каждое из данных выражений, нужно учесть условия существования логарифма. Логарифм существует, только если основание логарифма больше нуля и отлично от единицы, а также выражение под логарифмом должно быть больше нуля.

1) \(\log_2(5x - 3)\)

Для существования этого выражения необходимо, чтобы:

• Основание \( 2 > 0 \) и \( 2 \neq 1 \) (выполняется).
• Выражение под логарифмом \( 5x - 3 > 0 \).

Решим неравенство: \[ 5x - 3 > 0 \] \[ 5x > 3 \] \[ x > \frac{3}{5} \]

Таким образом, выражение \(\log_2(5x - 3)\) имеет смысл, когда \( x > \frac{3}{5} \).

2) \(\log_7(x^2 - x - 6)\)

Для существования этого выражения необходимо, чтобы:

• Основание \( 7 > 0 \) и \( 7 \neq 1 \) (выполняется).
• Выражение под логарифмом \( x^2 - x - 6 > 0 \).

Решим квадратное неравенство: Решим квадратное уравнение \( x^2 - x - 6 = 0 \) для определения границ интервалов. \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Корни уравнения: \( x = 3 \) и \( x = -2 \).

Расположим их на числовой прямой и определим знаки на интервалах: Точки разбиения: \( -2 \) и \( 3 \).

• \( x < -2 \): Выражение \( x^2 - x - 6 > 0 \).
• \(-2 < x < 3\): Выражение \( x^2 - x - 6 < 0 \).
• \( x > 3 \): Выражение \( x^2 - x - 6 > 0 \).

Таким образом, выражение \(\log_7(x^2 - x - 6)\) имеет смысл, когда \( x < -2 \) или \( x > 3 \).

Итоговые условия:

• Для \(\log_2(5x - 3)\): \( x > \frac{3}{5} \).
• Для \(\log_7(x^2 - x - 6)\): \( x < -2 \) или \( x > 3 \).