При каких значениях переменной x имеет смысл выражения

Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл каждое из данных выражений, нужно учесть условия существования логарифма. Логарифм существует, только если основание логарифма больше нуля и отлично от единицы, а также выражение под логарифмом должно быть больше нуля. **1) \(\log_2(5x - 3)\)** Для существования этого выражения необходимо, чтобы: - Основание \( 2 > 0 \) и \( 2 \neq 1 \) (выполняется). - Выражение под логарифмом \( 5x - 3 > 0 \). Решим неравенство: \[ 5x - 3 > 0 \] \[ 5x > 3 \] \[ x > \frac{3}{5} \] **Таким образом, выражение \(\log_2(5x - 3)\) имеет смысл, когда \( x > \frac{3}{5} \).** **2) \(\log_7(x^2 - x - 6)\)** Для существования этого выражения необходимо, чтобы: - Основание \( 7 > 0 \) и \( 7 \neq 1 \) (выполняется). - Выражение под логарифмом \( x^2 - x - 6 > 0 \). Решим квадратное неравенство: Решим квадратное уравнение \( x^2 - x - 6 = 0 \) для определения границ интервалов. \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \] Корни уравнения: \( x = 3 \) и \( x = -2 \). Расположим их на числовой прямой и определим знаки на интервалах: Точки разбиения: \( -2 \) и \( 3 \). - \( x < -2 \): Выражение \( x^2 - x - 6 > 0 \). - \(-2 < x < 3\): Выражение \( x^2 - x - 6 < 0 \). - \( x > 3 \): Выражение \( x^2 - x - 6 > 0 \). **Таким образом, выражение \(\log_7(x^2 - x - 6)\) имеет смысл, когда \( x < -2 \) или \( x > 3 \).** Итоговые условия: - Для \(\log_2(5x - 3)\): \( x > \frac{3}{5} \). - Для \(\log_7(x^2 - x - 6)\): \( x < -2 \) или \( x > 3 \).