При каких значениях переменной X имеет смысл выражения

Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение \( \log_{2-x}(5x-3) \), нужно обратить внимание на условия существования логарифма:

1. Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1: \[ 2-x > 0 \quad \text{и} \quad 2-x \neq 1 \]

2. Подлогарифмическое выражение должно быть больше 0: \[ 5x - 3 > 0 \]

Теперь решим каждое из неравенств.

1. Основание логарифма:

• \( 2-x > 0 \): \[ 2 > x \quad \Rightarrow \quad x < 2 \]

• \( 2-x \neq 1 \): \[ 2-x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq 1 \]

2. Подлогарифмическое выражение:

• \( 5x - 3 > 0 \): \[ 5x > 3 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{3}{5} \]

Совместим все условия:

Соединяя все условия, мы получаем: \[ \frac{3}{5} < x < 2 \quad \text{и} \quad x \neq 1 \]

Ответ: \( x \in \left(\frac{3}{5}, 1\right) \cup (1, 2) \)