Для решения этой задачи мы можем использовать основное тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике, которое связывает синус и косинус:
[ \sin(A) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} ]
[ \cos(A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} ]
Дано:
(\sin(A) = \frac{63}{65})
Мы знаем, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:
[ (\text{прилежащий катет})^2 + (\text{противоположный катет})^2 = (\text{гипотенуза})^2 ]
Так как у нас треугольник АВС, а синус острого угла равен 63/65, то предполагаем, что стороны треугольника представляют собой кратные числа. Пусть стороны треугольника равны 63k и 65k (где k - положительное целое число).
Теперь, зная значение синуса и используя соотношение между катетами и гипотенузой, мы можем выразить прилежащий и противоположный катеты:
[\text{противоположный катет} = 63k, \text{ гипотенуза} = 65k]
[\text{прилежащий катет} = \sqrt{(\text{гипотенуза})^2 - (\text{противоположный катет})^2} = \sqrt{(65k)^2 - (63k)^2} = \sqrt{4225k^2 - 3969k^2} = \sqrt{256k^2} = 16k]
Далее, используя наши значения катетов, можем найти косинус угла A:
[ \cos(A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{16k}{65k} = \frac{16}{65} ]
Таким образом, косинус острого угла A равен 16/65.
