При каких значениях переменной X имеет смысл выражения
Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение \( \log_7(x^2 - x - 6) \), нужно рассмотреть область определения логарифмической функции. Логарифмическая функция имеет смысл только тогда, когда выражение под логарифмом больше нуля.
Итак, нам нужно решить неравенство: \[ x^2 - x - 6 > 0 \]
Решим это квадратное неравенство. Для этого сначала решим уравнение: \[ x^2 - x - 6 = 0 \]
Найдем корни квадратного уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \]
Корни: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Рассмотрим промежутки, определенные этими корнями, чтобы выяснить, на каких из них выражение положительно:
- \( x < -2 \)
- \( -2 < x < 3 \)
- \( x > 3 \)
Для каждого промежутка подставим произвольное число в выражение \( x^2 - x - 6 \):
Подберите значение, например, \( x = -3 \) для промежутка \( x < -2 \): \[ (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \]
Подберите значение, например, \( x = 0 \) для промежутка \( -2 < x < 3 \): \[ 0^2 - 0 - 6 = -6 < 0 \]
Подберите значение, например, \( x = 4 \) для промежутка \( x > 3 \): \[ 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \]
Вывод: выражение будет иметь смысл при \( x < -2 \) или \( x > 3 \).
Ответ: \( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \).
