Упростите выражение

Чтобы упростить выражения, давайте рассмотрим каждое по отдельности. ### 1. \(\log_{1.25}(\log_{10}10000) + \log_{1.25}\left(\frac{5}{16}\right)\) Начнем со второго логарифма: \[ \log_{10}10000 \] 10000 можно представить как \(10^4\), следовательно: \[ \log_{10}10000 = 4 \] Теперь выражение становится: \[ \log_{1.25}(4) + \log_{1.25}\left(\frac{5}{16}\right) \] Используем свойство суммы логарифмов: \[ \log_{a}(b) + \log_{a}(c) = \log_{a}(b \cdot c) \] Таким образом, получаем: \[ \log_{1.25}\left(4 \cdot \frac{5}{16}\right) \] Упростим выражение внутри логарифма: \[ 4 \cdot \frac{5}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} \] Тогда: \[ \log_{1.25}\left(\frac{5}{4}\right) \] Это конечное упрощение для первого выражения. ### 2. \(\frac{\log_{25}6}{\log_{125}6}\) Мы знаем, что: \[ \log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} \] Выражение в числителе: \[ \log_{25}6 = \frac{\log_{10}6}{\log_{10}25} \] Выражение в знаменателе: \[ \log_{125}6 = \frac{\log_{10}6}{\log_{10}125} \] Теперь подставим эти значения в дробь: \[ \frac{\log_{10}6}{\log_{10}25} \div \frac{\log_{10}6}{\log_{10}125} \] Это преобразуется в: \[ \frac{\log_{10}125}{\log_{10}25} \] Теперь упростим. Заметим, что \(25 = 5^2\) и \(125 = 5^3\). Таким образом: \[ \log_{10}25 = \log_{10}(5^2) = 2\log_{10}5 \] \[ \log_{10}125 = \log_{10}(5^3) = 3\log_{10}5 \] Подставим обратно: \[ \frac{3\log_{10}5}{2\log_{10}5} = \frac{3}{2} \] Таким образом, конечное упрощение для второго выражения — это \(\frac{3}{2}\). Ответы: 1. \(\log_{1.25}\left(\frac{5}{4}\right)\) 2. \(\frac{3}{2}\)