Упростите выражение

Чтобы упростить выражения, давайте рассмотрим каждое по отдельности.

1. \(\log_{1.25}(\log_{10}10000) + \log_{1.25}\left(\frac{5}{16}\right)\)

Начнем со второго логарифма:

\[ \log_{10}10000 \]

10000 можно представить как \(10^4\), следовательно:

\[ \log_{10}10000 = 4 \]

Теперь выражение становится:

\[ \log_{1.25}(4) + \log_{1.25}\left(\frac{5}{16}\right) \]

Используем свойство суммы логарифмов:

\[ \log_{a}(b) + \log_{a}(c) = \log_{a}(b \cdot c) \]

Таким образом, получаем:

\[ \log_{1.25}\left(4 \cdot \frac{5}{16}\right) \]

Упростим выражение внутри логарифма:

\[ 4 \cdot \frac{5}{16} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} \]

Тогда:

\[ \log_{1.25}\left(\frac{5}{4}\right) \]

Это конечное упрощение для первого выражения.

2. \(\frac{\log_{25}6}{\log_{125}6}\)

Мы знаем, что:

\[ \log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} \]

Выражение в числителе:

\[ \log_{25}6 = \frac{\log_{10}6}{\log_{10}25} \]

Выражение в знаменателе:

\[ \log_{125}6 = \frac{\log_{10}6}{\log_{10}125} \]

Теперь подставим эти значения в дробь:

\[ \frac{\log_{10}6}{\log_{10}25} \div \frac{\log_{10}6}{\log_{10}125} \]

Это преобразуется в:

\[ \frac{\log_{10}125}{\log_{10}25} \]

Теперь упростим. Заметим, что \(25 = 5^2\) и \(125 = 5^3\). Таким образом:

\[ \log_{10}25 = \log_{10}(5^2) = 2\log_{10}5 \]

\[ \log_{10}125 = \log_{10}(5^3) = 3\log_{10}5 \]

Подставим обратно:

\[ \frac{3\log_{10}5}{2\log_{10}5} = \frac{3}{2} \]

Таким образом, конечное упрощение для второго выражения — это \(\frac{3}{2}\).

Ответы:

1. \(\log_{1.25}\left(\frac{5}{4}\right)\)
2. \(\frac{3}{2}\)