Найдите значение выражения

Чтобы решить эти логарифмические выражения, давайте разберём каждое из них шаг за шагом.

3) \( 2\log_{10} \sqrt{15} + 0.5\log_{10} 144 - \log_{10} 6 \)

1. Преобразуем корни и коэффициенты:

   • Известно, что \(\log_{b} a^n = n \cdot \log_{b} a\).
   • \(\sqrt{15} = 15^{0.5}\), значит \(2\log_{10}\sqrt{15} = 2 \cdot 0.5 \cdot \log_{10} 15 = \log_{10} 15\).

2. Обработаем вторую часть:

   • \(0.5\log_{10} 144 = \log_{10} 144^{0.5} = \log_{10} \sqrt{144} = \log_{10} 12\).

3. Объединим логарифмы:

   Сложим и вычтем логарифмы, используя свойства: \[ \log_{b} a + \log_{b} c = \log_{b} (a \cdot c) \] \[ \log_{b} a - \log_{b} c = \log_{b} \left(\frac{a}{c}\right) \]

   Используем: \[ \log_{10} 15 + \log_{10} 12 - \log_{10} 6 = \log_{10} \left(\frac{15 \cdot 12}{6}\right) \] \[ \frac{15 \cdot 12}{6} = 30 \] Получаем: \(\log_{10} 30\).

4) \(\frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4}\)

Используем правило изменения основания логарифма: \[ \log_{b} a = \frac{\log_{k} a}{\log_{k} b} \]

• \(\log_{x} y = n\) означает \(x^n = y\).
• Пусть \(x = 4\), тогда \(4^3 = 64\).

Значит: \[ \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4} = \log_{4} 64 = 3 \]

Таким образом, итоговые ответы:

• Для выражения 3: \(\log_{10} 30\)
• Для выражения 4: \(3\)