Найдите значение выражения

Чтобы решить эти логарифмические выражения, давайте разберём каждое из них шаг за шагом. ### 3) \( 2\log_{10} \sqrt{15} + 0.5\log_{10} 144 - \log_{10} 6 \) 1. **Преобразуем корни и коэффициенты:** - Известно, что \(\log_{b} a^n = n \cdot \log_{b} a\). - \(\sqrt{15} = 15^{0.5}\), значит \(2\log_{10}\sqrt{15} = 2 \cdot 0.5 \cdot \log_{10} 15 = \log_{10} 15\). 2. **Обработаем вторую часть:** - \(0.5\log_{10} 144 = \log_{10} 144^{0.5} = \log_{10} \sqrt{144} = \log_{10} 12\). 3. **Объединим логарифмы:** Сложим и вычтем логарифмы, используя свойства: \[ \log_{b} a + \log_{b} c = \log_{b} (a \cdot c) \] \[ \log_{b} a - \log_{b} c = \log_{b} \left(\frac{a}{c}\right) \] Используем: \[ \log_{10} 15 + \log_{10} 12 - \log_{10} 6 = \log_{10} \left(\frac{15 \cdot 12}{6}\right) \] \[ \frac{15 \cdot 12}{6} = 30 \] Получаем: \(\log_{10} 30\). ### 4) \(\frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4}\) Используем правило изменения основания логарифма: \[ \log_{b} a = \frac{\log_{k} a}{\log_{k} b} \] - \(\log_{x} y = n\) означает \(x^n = y\). - Пусть \(x = 4\), тогда \(4^3 = 64\). Значит: \[ \frac{\log_{10} 64}{\log_{10} 4} = \log_{4} 64 = 3 \] Таким образом, итоговые ответы: - Для выражения 3: \(\log_{10} 30\) - Для выражения 4: \(3\)