Какие из указанных равенств являются верными?
Чтобы определить, какие равенства являются верными, необходимо оценить пределы в каждом выражении. Давайте разберем каждое из них по отдельности.
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n} = 1\):
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + 0 = 1 \]
Это равенство верное.
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{1+n^2}{1-n^2} = -i\):
Упростим выражение:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{1+n^2}{1-n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2(1+\frac{1}{n^2})}{n^2(-1+\frac{1}{n^2})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1+\frac{1}{n^2}}{-1+\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{-1} = -1 \]
Это равенство неверное, так как результат \(-1\), а не \(-i\).
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 - 2n + 4i} = 1\):
Упростим выражение:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 - 2n + 4i} = \frac{1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n}+\frac{4i}{n^2}} \]
При \(n \to +\infty\), дробные выражения стремятся к нулю:
\[ \frac{1}{1} = 1 \]
Это равенство верное.
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{(2+5i)n - 1}{n} = 0\):
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(2+5i)n - 1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \left((2+5i) - \frac{1}{n}\right) = 2+5i \]
Это равенство неверное, так как результат \(2+5i\), а не \(0\).
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 9}{3n^2 + 2i} = \frac{1}{3}\):
Упростим выражение:
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 9}{3n^2 + 2i} = \frac{1 - \frac{9}{n^2}}{3 + \frac{2i}{n^2}} \]
При \(n \to +\infty\), дробные выражения стремятся к нулю:
\[ \frac{1}{3} \]
Это равенство верное.
Верные равенства: 1, 3, 5.
