в коробке 7 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки извлекют 5 шаров. Какова вероятность события "среди извлеченных не более красных шаров"
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для вычисления вероятности события.
Пусть:
- n - общее количество возможных исходов (количество способов извлечения 5 шаров из коробки);
- m - количество благоприятных исходов (количество способов извлечения не более 2 красных шаров из коробки);
- k - количество красных шаров в коробке (7 красных и 3 синих);
- r - количество не более красных шаров (0, 1 или 2).
Вычислим n, общее количество возможных исходов, когда мы извлекаем 5 шаров из коробки. Это можно сделать с помощью сочетания: \[ n = C^{5}_{10} = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252 \]
Теперь вычислим m, количество благоприятных исходов, когда мы извлекаем не более 2 красных шаров. Последовательно будем считать вероятность для 0, 1 и 2 красных шаров и сложим результаты.
- Для 0 красных шаров: \[ m_{0} = C^{0}_{7} \cdot C^{5}_{3} = 1 \cdot 10 = 10 \]
- Для 1 красного шара: \[ m_{1} = C^{1}_{7} \cdot C^{4}_{3} = 7 \cdot 4 = 28 \]
- Для 2 красных шаров: \[ m_{2} = C^{2}_{7} \cdot C^{3}_{3} = 21 \cdot 1 = 21 \]
Сложим результаты, чтобы получить общее количество благоприятных исходов: \[ m = m_{0} + m_{1} + m_{2} = 10 + 28 + 21 = 59 \]
Наконец, вычислим вероятность события "среди извлеченных не более красных шаров": \[ P(\text{"не более 2 красных шаров"}) = \frac{m}{n} = \frac{59}{252} \approx 0.2341 \]
Итак, вероятность события "среди извлеченных не более красных шаров" равна примерно 0.2341, или около 23.41%.
