Давайте решим задачу по шагам.
Задача: найти число, которое меньше 100, и при делении на 7 даёт остаток 6, а при делении на 9 — остаток 8.
Обозначим искомое число через ( x ).
Шаг 1: Запись условий в виде конгруэнций
- При делении на 7 даёт остаток 6:
[
x \equiv 6 \pmod{7}
]
- При делении на 9 даёт остаток 8:
[
x \equiv 8 \pmod{9}
]
Шаг 2: Найти числа, соответствующие первому условию
Числа, которые при делении на 7 дают остаток 6, имеют вид:
[
x = 7k + 6
]
где ( k ) — целое число.
Переберём такие числа, меньше 100:
[
x = 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97
]
Шаг 3: Проверить эти числа на второе условие
Ищем среди них число, которое при делении на 9 даёт остаток 8.
Проверим каждое:
- ( 6 \bmod 9 = 6 \neq 8 )
- ( 13 \bmod 9 = 4 \neq 8 )
- ( 20 \bmod 9 = 2 \neq 8 )
- ( 27 \bmod 9 = 0 \neq 8 )
- ( 34 \bmod 9 = 7 \neq 8 )
- ( 41 \bmod 9 = 5 \neq 8 )
- ( 48 \bmod 9 = 3 \neq 8 )
- ( 55 \bmod 9 = 1 \neq 8 )
- ( 62 \bmod 9 = 8 \quad \checkmark )
- ( 69 \bmod 9 = 6 \neq 8 )
- ( 76 \bmod 9 = 4 \neq 8 )
- ( 83 \bmod 9 = 2 \neq 8 )
- ( 90 \bmod 9 = 0 \neq 8 )
- ( 97 \bmod 9 = 7 \neq 8 )
Ответ:
[
\boxed{62}
]
Это число удовлетворяет условиям, меньше 100 и при делении даёт остатки 6 и 8 при делении на 7 и 9 соответственно.
