число меньше 100, при деление на 7 даёт остаток 6, а при деление на 9 остаток 8

Давайте решим задачу по шагам.

Задача: найти число, которое меньше 100, и при делении на 7 даёт остаток 6, а при делении на 9 — остаток 8.

Обозначим искомое число через \( x \).

Шаг 1: Запись условий в виде конгруэнций

• При делении на 7 даёт остаток 6:
  \[ x \equiv 6 \pmod{7} \]
• При делении на 9 даёт остаток 8:
  \[ x \equiv 8 \pmod{9} \]

Шаг 2: Найти числа, соответствующие первому условию

Числа, которые при делении на 7 дают остаток 6, имеют вид:
\[ x = 7k + 6 \] где \( k \) — целое число.

Переберём такие числа, меньше 100:
\[ x = 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97 \]

Шаг 3: Проверить эти числа на второе условие

Ищем среди них число, которое при делении на 9 даёт остаток 8.

Проверим каждое:

• \( 6 \bmod 9 = 6 \neq 8 \)
• \( 13 \bmod 9 = 4 \neq 8 \)
• \( 20 \bmod 9 = 2 \neq 8 \)
• \( 27 \bmod 9 = 0 \neq 8 \)
• \( 34 \bmod 9 = 7 \neq 8 \)
• \( 41 \bmod 9 = 5 \neq 8 \)
• \( 48 \bmod 9 = 3 \neq 8 \)
• \( 55 \bmod 9 = 1 \neq 8 \)
• \( 62 \bmod 9 = 8 \quad \checkmark \)
• \( 69 \bmod 9 = 6 \neq 8 \)
• \( 76 \bmod 9 = 4 \neq 8 \)
• \( 83 \bmod 9 = 2 \neq 8 \)
• \( 90 \bmod 9 = 0 \neq 8 \)
• \( 97 \bmod 9 = 7 \neq 8 \)

Ответ:
\[ \boxed{62} \]

Это число удовлетворяет условиям, меньше 100 и при делении даёт остатки 6 и 8 при делении на 7 и 9 соответственно.