Найдите площадь ромба сторона которого 15 см а разность диагонали 6 см
Давайте подробно решим задачу по поиску площади ромба, зная его сторону и разность диагоналей.
Дано:
- Сторона ромба \(a = 15\) см
- Разность диагоналей \(d_1 - d_2 = 6\) см
Неизвестные:
- Диагонали ромба \(d_1\) и \(d_2\)
Шаг 1: Формулы и свойства ромба
В ромбе все стороны равны, и сторона равна \(a\).
Диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
Связь между сторонами и диагоналями:
\[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \]
или
\[ 4a^2 = d_1^2 + d_2^2 \]
так как \(a = 15\) см,
\[ 4 \times 15^2 = d_1^2 + d_2^2 \]
\[ 4 \times 225 = d_1^2 + d_2^2 \]
\[ 900 = d_1^2 + d_2^2 \]
Шаг 2: Используем разницу диагоналей
\[ d_1 - d_2 = 6 \]
Обозначим:
\[ d_1 = d_2 + 6 \]
Подставим в уравнение:
\[ d_1^2 + d_2^2 = 900 \]
\[ (d_2 + 6)^2 + d_2^2 = 900 \]
Раскроем скобки:
\[ d_2^2 + 12d_2 + 36 + d_2^2 = 900 \]
Объединим подобные:
\[ 2d_2^2 + 12d_2 + 36 = 900 \]
Вычтем 900 из обеих частей:
\[ 2d_2^2 + 12d_2 + 36 - 900 = 0 \]
\[ 2d_2^2 + 12d_2 - 864 = 0 \]
Разделим всю формулу на 2:
\[ d_2^2 + 6d_2 - 432 = 0 \]
Шаг 3: Решение квадратичного уравнения
\[ d_2^2 + 6d_2 - 432 = 0 \]
Используем формулу корней квадратичного уравнения:
\[ d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=1\), \(b=6\), \(c=-432\):
\[ d_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times (-432)}}{2} \]
\[ d_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{2} \]
\[ d_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{1764}}{2} \]
\[ \sqrt{1764} = 42 \]
Тогда:
\[ d_2 = \frac{-6 \pm 42}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- Первый:
\[ d_2 = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]
- Второй:
\[ d_2 = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24 \]
Диагональ не может быть отрицательной, следовательно:
\[ d_2 = 18 \text{ см} \]
А так как \(d_1 = d_2 + 6\):
\[ d_1 = 18 + 6 = 24 \text{ см} \]
Шаг 4: Расчет площади ромба
Площадь ромба через диагонали выражается так:
\[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]
Подставим значения:
\[ S = \frac{24 \times 18}{2} = \frac{432}{2} = 216 \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь ромба равна 216 квадратных сантиметров.
