Найдите площадь ромба сторона которого 15 см а разность диагонали 6 см

Давайте подробно решим задачу по поиску площади ромба, зная его сторону и разность диагоналей. **Дано:** - Сторона ромба \(a = 15\) см - Разность диагоналей \(d_1 - d_2 = 6\) см **Неизвестные:** - Диагонали ромба \(d_1\) и \(d_2\) --- ### Шаг 1: Формулы и свойства ромба - В ромбе все стороны равны, и сторона равна \(a\). - Диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. - Связь между сторонами и диагоналями: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] или \[ 4a^2 = d_1^2 + d_2^2 \] так как \(a = 15\) см, \[ 4 \times 15^2 = d_1^2 + d_2^2 \] \[ 4 \times 225 = d_1^2 + d_2^2 \] \[ 900 = d_1^2 + d_2^2 \] --- ### Шаг 2: Используем разницу диагоналей \[ d_1 - d_2 = 6 \] Обозначим: \[ d_1 = d_2 + 6 \] Подставим в уравнение: \[ d_1^2 + d_2^2 = 900 \] \[ (d_2 + 6)^2 + d_2^2 = 900 \] Раскроем скобки: \[ d_2^2 + 12d_2 + 36 + d_2^2 = 900 \] Объединим подобные: \[ 2d_2^2 + 12d_2 + 36 = 900 \] Вычтем 900 из обеих частей: \[ 2d_2^2 + 12d_2 + 36 - 900 = 0 \] \[ 2d_2^2 + 12d_2 - 864 = 0 \] Разделим всю формулу на 2: \[ d_2^2 + 6d_2 - 432 = 0 \] --- ### Шаг 3: Решение квадратичного уравнения \[ d_2^2 + 6d_2 - 432 = 0 \] Используем формулу корней квадратичного уравнения: \[ d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=6\), \(c=-432\): \[ d_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times (-432)}}{2} \] \[ d_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{2} \] \[ d_2 = \frac{-6 \pm \sqrt{1764}}{2} \] \[ \sqrt{1764} = 42 \] Тогда: \[ d_2 = \frac{-6 \pm 42}{2} \] Рассмотрим оба варианта: - Первый: \[ d_2 = \frac{-6 + 42}{2} = \frac{36}{2} = 18 \] - Второй: \[ d_2 = \frac{-6 - 42}{2} = \frac{-48}{2} = -24 \] Диагональ не может быть отрицательной, следовательно: \[ d_2 = 18 \text{ см} \] А так как \(d_1 = d_2 + 6\): \[ d_1 = 18 + 6 = 24 \text{ см} \] --- ### Шаг 4: Расчет площади ромба Площадь ромба через диагонали выражается так: \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} \] Подставим значения: \[ S = \frac{24 \times 18}{2} = \frac{432}{2} = 216 \text{ см}^2 \] --- ## Ответ: **Площадь ромба равна 216 квадратных сантиметров.**