Посчитай, сколько натуральных чисел от 1 до 150, для которых истинно утверждение: (Последняя цифра числа чётна) И (число кратно 3) ИЛИ (Число меньше 15).

Давайте детально разберем задачу и пошагово решим ее. **Задача:** Посчитать количество натуральных чисел от 1 до 150, для которых выполняется условие: > (Последняя цифра числа чётна) и (число кратно 3) или (число меньше 15). Обозначим это условие как: \[ (A \land B) \lor C \] где: - \(A\) — последняя цифра числа чётна, - \(B\) — число кратно 3, - \(C\) — число меньше 15. --- ### Шаг 1: Разбор условий Условие истинно, если выполняется либо: - \(A \land B\) (последняя цифра чётна и число кратно 3), либо - \(C\) (число меньше 15). ### Шаг 2: Посчитаем числа, удовлетворяющие условию Нам нужно найти все числа от 1 до 150, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих выражений. --- ### Шаг 3: Обозначим события - \(S_1\) — числа удовлетворяющие \(A \land B\), - \(S_2\) — числа удовлетворяющие \(C\). По сути, ответ — это количество чисел, входящих хотя бы в одно из этих множеств: \[ |S_1 \cup S_2| = |S_1| + |S_2| - |S_1 \cap S_2| \] --- ### Шаг 4: Посчитаем \( |S_2| \) — числа, которые меньше 15 Числа от 1 до 14: \[ S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\} \] Количество: **14**. --- ### Шаг 5: Посчитаем \( |S_1| \) — числа, удовлетворяющие \(A \land B\) Условие: - Последняя цифра чётна \(\Rightarrow\) последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8. - Число кратно 3. Рассмотрим числа от 1 до 150. Обозначим: - Для каждого числа \(n\), его последняя цифра — это \(n \mod 10\). - Чтобы выполнялось \(A \land B\), число \(n\) должно быть кратным 3 и иметь последнюю цифру из \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\). --- ### Шаг 6: Посчитаем числа, кратные 3, с последней цифрой чётной Рассмотрим каждый возможный последний цифр: **Последняя цифра 0:** Числа, кратные 3 и оканчивающиеся на 0. Все такие числа — это числа кратные 3, которые делятся на 10 и при этом делятся на 3. Их можно представить как: признаки — делимость на 30 (так как 10 и 3 — взаимно простые множители). Числа, кратные 30, до 150: 30, 60, 90, 120, 150 — всего 5 чисел. **Последняя цифра 2:** Числа, кратные 3 и оканчивающиеся на 2. Пять цифр (0, 2, 4, 6, 8), можем проверить: Проверим кратность 3 для чисел, оканчивающихся на 2: - 2, 12, 42, 72, 102, 132, 162. Но 162 больше 150, исключим. Между ними: 12, 42, 72, 102, 132. Проверим кратность 3: - 12 / 3 = 4 — делится - 42 / 3 = 14 — делится - 72 / 3 = 24 — делится - 102 / 3 = 34 — делится - 132 / 3 = 44 — делится Все эти 5 чисел удовлетворяют условию. **Последняя цифра 4:** Аналогично: - 4, 24, 54, 84, 114 Проверим делимость на 3: - 24 / 3 = 8 - 54 / 3 = 18 - 84 / 3 = 28 - 114 / 3 = 38 Число 4 не делится на 3, исключим ее. Итак, числа с последней цифрой 4: 24, 54, 84, 114 — всего 4 числа. **Последняя цифра 6:** - 6, 36, 66, 96, 126, 156 Проверим делимость: - 6 / 3 = 2 — делится - 36 / 3 = 12 - 66 / 3 = 22 - 96 / 3 = 32 - 126 / 3 = 42 - 156 / 3 = 52, но 156 > 150 — исключаем. Итак, числа: 6, 36, 66, 96, 126 — 5 чисел. **Последняя цифра 8:** - 8, 48, 78, 108, 138 Проверим: - 48 / 3 = 16 - 78 / 3 = 26 - 108 / 3 = 36 - 138 / 3 = 46 Все делятся на 3, число 8 — нет. Итак, числа: 48, 78, 108, 138 — 4 числа. --- ### Итог: найдём все числа, удовлетворяющие \(A \land B\): | Последняя цифра | числа, кратные 3 | |------------------|----------------| | 0 | 30, 60, 90, 120, 150 (5) | | 2 | 12, 42, 72, 102, 132 (5) | | 4 | 24, 54, 84, 114 (4) | | 6 | 6, 36, 66, 96, 126 (5) | | 8 | 48, 78, 108, 138 (4) | Итого: \[ |S_1| = 5 + 5 + 4 + 5 + 4 = 23 \] --- ### Шаг 7: Найдём объединение Нам нужно найти \( |S_1 \cup S_2| \) и применяем формулу: \[ |S_1 \cup S_2| = |S_1| + |S_2| - |S_1 \cap S_2| \] - \( |S_2| = 14 \) Теперь подсчитаем \( |S_1 \cap S_2| \): числа, которые одновременно: - принадлежат \(S_1\)— удовлетворяют \(A \land B\), - и цифра у них от 1 до 14. Из всех чисел из \(S_1\), мы ищем те, что \(\le 14\): Из таблицы: - В списке кто ≤14? - 6 (да) - 12 (да) И другие — нет, так как остальные большие. Проверим: - 6 — да, входит в список, и \(\le 14\). Делим на 3: 6 / 3 = 2, делится — всё хорошо. - 12 — тоже: 12 / 3 = 4 — делится. Значит, \(|S_1 \cap S_2| = 2\). --- ### Итог: \[ |S_1 \cup S_2| = 23 + 14 - 2 = 35 \] --- ## **Ответ:** **Количество натуральных чисел от 1 до 150, удовлетворяющих условию — это 35.** --- Если нужен более подробный разбор или есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!