Посчитай, сколько натуральных чисел от 1 до 150, для которых истинно утверждение: (Последняя цифра числа чётна) И (число кратно 3) ИЛИ (Число меньше 15).
Давайте детально разберем задачу и пошагово решим ее.
Задача:
Посчитать количество натуральных чисел от 1 до 150, для которых выполняется условие:
(Последняя цифра числа чётна) и (число кратно 3) или (число меньше 15).
Обозначим это условие как:
\[ (A \land B) \lor C \]
где:
- \(A\) — последняя цифра числа чётна,
- \(B\) — число кратно 3,
- \(C\) — число меньше 15.
Шаг 1: Разбор условий
Условие истинно, если выполняется либо:
- \(A \land B\) (последняя цифра чётна и число кратно 3), либо
- \(C\) (число меньше 15).
Шаг 2: Посчитаем числа, удовлетворяющие условию
Нам нужно найти все числа от 1 до 150, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих выражений.
Шаг 3: Обозначим события
- \(S_1\) — числа удовлетворяющие \(A \land B\),
- \(S_2\) — числа удовлетворяющие \(C\).
По сути, ответ — это количество чисел, входящих хотя бы в одно из этих множеств:
\[ |S_1 \cup S_2| = |S_1| + |S_2| - |S_1 \cap S_2| \]
Шаг 4: Посчитаем \( |S_2| \) — числа, которые меньше 15
Числа от 1 до 14:
\[ S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\} \]
Количество: 14.
Шаг 5: Посчитаем \( |S_1| \) — числа, удовлетворяющие \(A \land B\)
Условие:
- Последняя цифра чётна \(\Rightarrow\) последняя цифра 0, 2, 4, 6, 8.
- Число кратно 3.
Рассмотрим числа от 1 до 150.
Обозначим:
- Для каждого числа \(n\), его последняя цифра — это \(n \mod 10\).
- Чтобы выполнялось \(A \land B\), число \(n\) должно быть кратным 3 и иметь последнюю цифру из \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\).
Шаг 6: Посчитаем числа, кратные 3, с последней цифрой чётной
Рассмотрим каждый возможный последний цифр:
Последняя цифра 0:
Числа, кратные 3 и оканчивающиеся на 0.
Все такие числа — это числа кратные 3, которые делятся на 10 и при этом делятся на 3.
Их можно представить как: признаки — делимость на 30 (так как 10 и 3 — взаимно простые множители).
Числа, кратные 30, до 150:
30, 60, 90, 120, 150 — всего 5 чисел.
Последняя цифра 2:
Числа, кратные 3 и оканчивающиеся на 2.
Пять цифр (0, 2, 4, 6, 8), можем проверить:
Проверим кратность 3 для чисел, оканчивающихся на 2:
- 2, 12, 42, 72, 102, 132, 162.
Но 162 больше 150, исключим.
Между ними: 12, 42, 72, 102, 132.
Проверим кратность 3:
- 12 / 3 = 4 — делится
- 42 / 3 = 14 — делится
- 72 / 3 = 24 — делится
- 102 / 3 = 34 — делится
- 132 / 3 = 44 — делится
Все эти 5 чисел удовлетворяют условию.
Последняя цифра 4:
Аналогично:
4, 24, 54, 84, 114
Проверим делимость на 3:24 / 3 = 8
54 / 3 = 18
84 / 3 = 28
114 / 3 = 38
Число 4 не делится на 3, исключим ее.
Итак, числа с последней цифрой 4: 24, 54, 84, 114 — всего 4 числа.
Последняя цифра 6:
- 6, 36, 66, 96, 126, 156
Проверим делимость:
- 6 / 3 = 2 — делится
- 36 / 3 = 12
- 66 / 3 = 22
- 96 / 3 = 32
- 126 / 3 = 42
- 156 / 3 = 52, но 156 > 150 — исключаем.
Итак, числа: 6, 36, 66, 96, 126 — 5 чисел.
Последняя цифра 8:
- 8, 48, 78, 108, 138
Проверим:
- 48 / 3 = 16
- 78 / 3 = 26
- 108 / 3 = 36
- 138 / 3 = 46
Все делятся на 3, число 8 — нет.
Итак, числа: 48, 78, 108, 138 — 4 числа.
Итог: найдём все числа, удовлетворяющие \(A \land B\):
| Последняя цифра | числа, кратные 3 |
|---|---|
| 0 | 30, 60, 90, 120, 150 (5) |
| 2 | 12, 42, 72, 102, 132 (5) |
| 4 | 24, 54, 84, 114 (4) |
| 6 | 6, 36, 66, 96, 126 (5) |
| 8 | 48, 78, 108, 138 (4) |
Итого:
\[ |S_1| = 5 + 5 + 4 + 5 + 4 = 23 \]
Шаг 7: Найдём объединение
Нам нужно найти \( |S_1 \cup S_2| \) и применяем формулу:
\[ |S_1 \cup S_2| = |S_1| + |S_2| - |S_1 \cap S_2| \]
- \( |S_2| = 14 \)
Теперь подсчитаем \( |S_1 \cap S_2| \): числа, которые одновременно:
- принадлежат \(S_1\)— удовлетворяют \(A \land B\),
- и цифра у них от 1 до 14.
Из всех чисел из \(S_1\), мы ищем те, что \(\le 14\):
Из таблицы:
- В списке кто ≤14?
- 6 (да)
- 12 (да)
И другие — нет, так как остальные большие.
Проверим:
- 6 — да, входит в список, и \(\le 14\). Делим на 3: 6 / 3 = 2, делится — всё хорошо.
- 12 — тоже: 12 / 3 = 4 — делится.
Значит, \(|S_1 \cap S_2| = 2\).
Итог:
\[ |S_1 \cup S_2| = 23 + 14 - 2 = 35 \]
Ответ:
Количество натуральных чисел от 1 до 150, удовлетворяющих условию — это 35.
Если нужен более подробный разбор или есть дополнительные вопросы, буду рад помочь!
