График функции y=³√1-x³

Конечно! Давайте подробно разберем график функции \( y = \sqrt[3]{1 - x^3} \). --- ### 1. Анализ функции Функция: \[ y = \sqrt[3]{1 - x^3} \] Это функция, записанная в виде корня кубической степени (кубический корень). Кубические корни определены для всех действительных чисел, поэтому домен функции — все числа \( x \in \mathbb{R} \). --- ### 2. Варианты поведения функции - Для каждого значения \( x \), внутреннее выражение \( 1 - x^3 \) — это любое вещественное число. - Кубический корень сохраняет знак исходного выражения: - если \( 1 - x^3 \geq 0 \), то \( y \geq 0 \) - если \( 1 - x^3 < 0 \), то \( y < 0 \) --- ### 3. Исследование функции: #### a) Поведение при больших \( x \): - Когда \( x \to +\infty \), \[ 1 - x^3 \to -\infty \Rightarrow y = \sqrt[3]{-\infty} = -\infty \] - Когда \( x \to -\infty \), \[ 1 - x^3 \to +\infty \Rightarrow y = \sqrt[3]{+\infty} = +\infty \] #### b) Ноль функции: Найдем точку, где \( y = 0 \): \[ \sqrt[3]{1 - x^3} = 0 \Rightarrow 1 - x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1 \] Это точка пересечения графика с осью абцисс (ось \( x \)) — точка \( (1, 0) \). --- ### 4. Производная и монотонность Для определения роста или убывания функции возьмем производную: \[ y = (1 - x^3)^{1/3} \] Общая формула: \[ y' = \frac{1}{3} (1 - x^3)^{-2/3} \cdot (-3x^2) = - \frac{x^2}{(1 - x^3)^{2/3}} \] - знаменатель всегда положителен для всех \( x \neq 1 \), т.к. кубический корень возводится в четную степень. - числитель отрицателен при \( x \neq 0 \), что означает: - при \( x \neq 0 \), \( y' \le 0 \), то есть функция убывает или на месте \( x=0 \), где производная равна нулю. Если \( x=0 \), то: \[ y' = - \frac{0}{(1 - 0)^ {2/3}} = 0 \] --- ### 5. Таблица значений и характерные точки - В точке \( x=1 \): \[ y=0 \] - В точке \( x=0 \): \[ y= \sqrt[3]{1 - 0} = 1 \] - В точке \( x=-1 \): \[ y= \sqrt[3]{1 - (-1)^3} = \sqrt[3]{1 +1} = \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \] --- ### 6. Итоговый график - На всей числовой оси \( x \) функция определена. - При \( x \to -\infty \), \( y \to +\infty \). - При \( x \to +\infty \), \( y \to -\infty \). - График пересекает ось \( x \) в точке \( (1, 0) \). - В точке \( x=0 \), \( y=1 \). - График убывает во всей области, за исключением точки \( x=0 \), где он достигает локального максимума. --- ### 7. Общий вид графика - начинает идти из верхней части (при больших отрицательных \( x \)), - постепенно уменьшается, проходя через точки \( ( -1, \sqrt[3]{2} ) \) и \( ( 0, 1 ) \), - пересекает ось \( x \) в точке \( (1, 0) \), - затем убывает к минус бесконечности при больших \( x \). --- Если нужно — сделаю схематичный рисунок или еще более детальные вычисления!