Давайте подробно разберём задачу.
Дано:
- M1 — середина отрезка AB
- M2 — середина отрезка M1B
- M3 — середина отрезка M2B
- M4 — середина отрезка M3B
- Длина отрезка M1M4 равна 14
Найти: длину отрезка AM2.
Шаг 1: Вводные положения и обозначения
Пусть:
- (A = 0) (представим точку A на числовой оси)
- (B = x) (ставим B на оси так, чтобы длина AB — (x))
Обозначим точки на оси:
Шаг 2: Определение координат точек
- M1 — середина (AB), значит:
[
M1 = \frac{A + B}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}
]
[
M2 = \frac{M1 + B}{2} = \frac{\frac{x}{2} + x}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{2x}{2}}{2} = \frac{\frac{3x}{2}}{2} = \frac{3x}{4}
]
[
M3 = \frac{M2 + B}{2} = \frac{\frac{3x}{4} + x}{2} = \frac{\frac{3x}{4} + \frac{4x}{4}}{2} = \frac{\frac{7x}{4}}{2} = \frac{7x}{8}
]
[
M4 = \frac{M3 + B}{2} = \frac{\frac{7x}{8} + x}{2} = \frac{\frac{7x}{8} + \frac{8x}{8}}{2} = \frac{\frac{15x}{8}}{2} = \frac{15x}{16}
]
Шаг 3: Выразить (M1M4)
Теперь найдем длину отрезка (M1M4):
[
M1 = \frac{x}{2}, \quad M4 = \frac{15x}{16}
]
Переведем в одно выражение:
[
M1M4 = |M4 - M1| = \left|\frac{15x}{16} - \frac{x}{2}\right|
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{15x}{16} - \frac{x}{2} = \frac{15x}{16} - \frac{8x}{16} = \frac{7x}{16}
]
По условию, эта длина равна 14:
[
\frac{7x}{16} = 14
]
Шаг 4: Решение уравнения для (x)
[
7x = 14 \times 16
]
[
7x = 224
]
[
x = \frac{224}{7} = 32
]
Значит,
[
AB = x = 32
]
Шаг 5: Находим (AM2)
Точка (M2):
[
M2 = \frac{3x}{4} = \frac{3 \times 32}{4} = \frac{96}{4} = 24
]
Точка (A = 0), значит:
[
AM2 = |M2 - A| = |24 - 0| = 24
]
Ответ:
[
\boxed{24}
]
Длина отрезка (AM2) равна 24.
