Точка M1 – середина отрезка AB. Точка M2 – середина отрезка M1B. Точка M3 – середина отрезка M2B. Точка M4 – середина отрезка M3B. Длина отрезка M1M4 равна 14. Найдите длину…

Давайте подробно разберём задачу.

Дано:

• M1 — середина отрезка AB
• M2 — середина отрезка M1B
• M3 — середина отрезка M2B
• M4 — середина отрезка M3B
• Длина отрезка M1M4 равна 14

Найти: длину отрезка AM2.

---

Шаг 1: Вводные положения и обозначения

Пусть:

• \(A = 0\) (представим точку A на числовой оси)
• \(B = x\) (ставим B на оси так, чтобы длина AB — \(x\))

Обозначим точки на оси:

• \(A = 0\)
• \(B = x\)

---

Шаг 2: Определение координат точек

• M1 — середина \(AB\), значит:

\[ M1 = \frac{A + B}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2} \]

• M2 — середина \(M1B\):

\[ M2 = \frac{M1 + B}{2} = \frac{\frac{x}{2} + x}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{2x}{2}}{2} = \frac{\frac{3x}{2}}{2} = \frac{3x}{4} \]

• M3 — середина \(M2B\):

\[ M3 = \frac{M2 + B}{2} = \frac{\frac{3x}{4} + x}{2} = \frac{\frac{3x}{4} + \frac{4x}{4}}{2} = \frac{\frac{7x}{4}}{2} = \frac{7x}{8} \]

• M4 — середина \(M3B\):

\[ M4 = \frac{M3 + B}{2} = \frac{\frac{7x}{8} + x}{2} = \frac{\frac{7x}{8} + \frac{8x}{8}}{2} = \frac{\frac{15x}{8}}{2} = \frac{15x}{16} \]

---

Шаг 3: Выразить \(M1M4\)

Теперь найдем длину отрезка \(M1M4\):

\[ M1 = \frac{x}{2}, \quad M4 = \frac{15x}{16} \]

Переведем в одно выражение:

\[ M1M4 = |M4 - M1| = \left|\frac{15x}{16} - \frac{x}{2}\right| \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{15x}{16} - \frac{x}{2} = \frac{15x}{16} - \frac{8x}{16} = \frac{7x}{16} \]

По условию, эта длина равна 14:

\[ \frac{7x}{16} = 14 \]

---

Шаг 4: Решение уравнения для \(x\)

\[ 7x = 14 \times 16 \]

\[ 7x = 224 \]

\[ x = \frac{224}{7} = 32 \]

Значит,

\[ AB = x = 32 \]

---

Шаг 5: Находим \(AM2\)

Точка \(M2\):

\[ M2 = \frac{3x}{4} = \frac{3 \times 32}{4} = \frac{96}{4} = 24 \]

Точка \(A = 0\), значит:

\[ AM2 = |M2 - A| = |24 - 0| = 24 \]

---

Ответ:

\[ \boxed{24} \]

Длина отрезка \(AM2\) равна 24.