Давайте подробно разберём задачу и найдём ответ.
Дано:
- Оригинальная статуэтка и копия сделаны из пластмассы.
- Копия уменьшена в 3 раза по линейным размерам по сравнению с оригиналом.
- Оба объекта — плотные, без полостей.
- Масса копии в 200 раз меньше массы оригинала.
- Плотность оригинальной статуэтки 8.600 кг/м³.
Что требуется найти:
- Плотность пластмассы (она одинаковая для оригинала и копии).
Шаг 1. Связь линейных размеров и объема
Площадь или объем связаны с линейными размерами следующим образом:
Если все линейные размеры уменьшены в 3 раза, то:
[
\text{Объем копии} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \text{Объем оригинала} = \frac{1}{27} \times \text{Объем оригинала}
]
Шаг 2. Связь масс и объемов
Масса связана с плотностью и объемом:
[
m = \rho \times V
]
По условию:
[
m_{\text{копии}} = \frac{1}{200} \times m_{\text{оригинала}}
]
Обозначим:
- ( m_o ) — масса оригинальной статуэтки,
- ( V_o ) — объем оригинальной статуэтки,
- ( m_k ) — масса копии,
- ( V_k ) — объем копии.
Из соотношения объемов:
[
V_k = \frac{1}{27} V_o
]
Из условной связи масс:
[
m_k = \frac{1}{200} m_o
]
Также, для копии:
[
m_k = \rho_{\text{пластмассы}} \times V_k
]
Для оригинала:
[
m_o = \rho_{\text{пластмассы}} \times V_o
]
Так как плотность пластмассы одинаковая и внутри обоих объектов нет полостей:
[
\frac{m_k}{m_o} = \frac{V_k}{V_o}
]
Но из условий:
[
\frac{m_k}{m_o} = \frac{1}{200}
]
А из объема:
[
\frac{V_k}{V_o} = \frac{1}{27}
]
Эти два соотношения не совпадают, что говорит о том, что внутри статуэтки есть полости или другой нюанс. Однако в условии указано, что внутри нет полостей, а плотность постоянна.
Шаг 3. Проверка на соответствие
Если ( \rho ) — плотность пластмассы,
[
m_o = \rho V_o
]
[
m_k = \rho V_k
]
Следовательно:
[
\frac{m_k}{m_o} = \frac{V_k}{V_o} = \frac{1}{27}
]
Но по условию:
[
\frac{m_k}{m_o} = \frac{1}{200}
]
Это означает, что настоящее отношение масс — не просто пропорционально объему из-за отсутствия полостей. Значит, внутри оригинала и копии есть полости или структура, влияющая на массу, и эти полости одинаковые, что даёт пропорцию мас.
Шаг 4. Используя данные по плотности оригинала
Плотность оригинала: (\rho_o = 8.600, \text{кг/м}^3)
Масса оригинала:
[
m_o = \rho_o V_o
]
Масса копии:
[
m_k = \frac{1}{200} m_o
]
Объем копии:
[
V_k = \frac{1}{27} V_o
]
Масса копии с учётом плотности пластмассы:
[
m_k = \rho_p V_k
]
Итак,
[
\rho_p V_k = \frac{1}{200} \times m_o = \frac{1}{200} \times \rho_o V_o
]
Подставляем (V_k = \frac{1}{27} V_o):
[
\rho_p \times \frac{1}{27} V_o = \frac{1}{200} \times \rho_o V_o
]
Сокращая (V_o):
[
\rho_p \times \frac{1}{27} = \frac{1}{200} \times \rho_o
]
Отсюда выразим (\rho_p):
[
\rho_p = \frac{1}{200} \times \rho_o \times 27
]
[
\rho_p = \frac{27}{200} \times 8.600
]
Посчитаем:
[
\rho_p = \frac{27 \times 8.600}{200}
]
[
\rho_p = \frac{232.2}{200} = 1.161, \text{кг/м}^3
]
Ответ:
Плотность пластмассы — примерно 1,16 кг/м³.
Поскольку нужно округлить до целых, получим:
[
\boxed{1, \text{кг/м}^3}
]
Если есть дополнительные уточнения или вопросы, я готов помочь!
