1. Даны векторы а(7; -4), b(7; -3) и č(3; 9). Найдите длину вектора 2а + b + 3č. 2. Найдите скалярное произведение векторов а и b, если а(7; -9) и b(-5; 2). 3. При каком значении…

Давайте пошагово разберем каждую задачу, чтобы понять, как их решать.

---

1. Найти длину вектора \( 2a + b + 3c \)

Даны векторы:

• \( a(7, -4) \)
• \( b(7, -3) \)
• \( c(3, 9) \)

Шаг 1: Найти каждый вектор умножением на число:

• \( 2a = 2 \times (7, -4) = (14, -8) \)
• \( 3c = 3 \times (3, 9) = (9, 27) \)

Шаг 2: Сложить полученные векторы: \[ 2a + b + 3c = (14, -8) + (7, -3) + (9, 27) \] \[ = (14 + 7 + 9, -8 - 3 + 27) = (30, 16) \]

Шаг 3: Найти длину вектора \((30, 16)\): \[ |\vec{v}| = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34 \]

Ответ: длина вектора равна 34.

---

2. Найти скалярное произведение векторов \( a(7, -9) \) и \( b(-5, 2) \)

Формула скалярного произведения: \[ a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]

Подставляем: \[ 7 \times (-5) + (-9) \times 2 = -35 - 18 = -53 \]

Ответ: скалярное произведение равно -53.

---

3. При каком значении \( x \) векторы \( a(-11, x) \) и \( b(-6, -11) \) перпендикулярны?

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Посчитаем: \[ a \cdot b = (-11) \times (-6) + x \times (-11) = 66 - 11x \] Приравниваем к нулю: \[ 66 - 11x = 0 \Rightarrow 11x = 66 \Rightarrow x = 6 \]

Ответ: \( x = 6 \).

---

4. При каком значении \( x \) векторы \( a(x, -11) \) и \( b(-88, -88) \) коллинеарны?

Коллинеарность означает, что один вектор является кратным другого: \[ a = \lambda b \]

Запишем координаты: \[ (x, -11) = \lambda (-88, -88) \]

Тогда пропорции: \[ x = \lambda (-88) \] \[ -11 = \lambda (-88) \]

Из второго уравнения: \[ -11 = -88 \lambda \Rightarrow \lambda = \frac{-11}{-88} = \frac{1}{8} \]

Подставляем в первое уравнение: \[ x = \frac{1}{8} \times (-88) = -11 \]

Ответ: \( x = -11 \).

---

5. При каком наибольшем значении \( x \) модуль вектора \( AB \) равен 25, если \( X(-1, x) \), \( B(6, 31) \)

Координаты:

• \( A(-1, x) \)
• \( B(6, 31) \)

Находим вектор \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = (6 - (-1), 31 - x) = (7, 31 - x) \]

Модуль: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{7^2 + (31 - x)^2} = 25 \]

Раскроем: \[ \sqrt{49 + (31 - x)^2} = 25 \] Квадрат обеих частей: \[ 49 + (31 - x)^2 = 625 \] \[ (31 - x)^2 = 625 - 49 = 576 \] \[ 31 - x = \pm \sqrt{576} = \pm 24 \]

Рассмотрим два варианта:

1. \( 31 - x = 24 \Rightarrow x = 7 \)
2. \( 31 - x = -24 \Rightarrow x = 55 \)

Наибольшее значение: \[ \boxed{x = 55} \]

---

6. Найти косинус угла между векторами \( a(0, -10) \) и \( b(-6, 8) \)

Используем формулу: \[ \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \]

Шаг 1: Скалярное произведение: \[ 0 \times (-6) + (-10) \times 8 = 0 - 80 = -80 \]

Шаг 2: Длина векторов: \[ |a| = \sqrt{0^2 + (-10)^2} = 10 \] \[ |b| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Шаг 3: Косинус: \[ \cos \theta = \frac{-80}{10 \times 10} = \frac{-80}{100} = -0.8 \]

Ответ: \(\boxed{\cos \theta = -0.8}\).

---

7. Найти скалярное произведение векторов \( a \) и \( b \), если \( |a| = \frac{5\sqrt{2}}{2} \), \( |b| = 2 \), и угол между ними \( 45^\circ \)

Используем формулу: \[ a \cdot b = |a| |b| \cos \theta \]

Подставляем: \[ a \cdot b = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times 2 \times \cos 45^\circ \]

Так как \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем: \[ a \cdot b = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Сначала сократим: \[ = 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Поскольку \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \): \[ = 5 \times \frac{2}{2} = 5 \]

Ответ: скалярное произведение равно 5.

---

Если нужно более подробно объяснить любой шаг, спрашивайте!