Давайте пошагово разберем каждую задачу, чтобы понять, как их решать.
1. Найти длину вектора ( 2a + b + 3c )
Даны векторы:
- ( a(7, -4) )
- ( b(7, -3) )
- ( c(3, 9) )
Шаг 1: Найти каждый вектор умножением на число:
- ( 2a = 2 \times (7, -4) = (14, -8) )
- ( 3c = 3 \times (3, 9) = (9, 27) )
Шаг 2: Сложить полученные векторы:
[
2a + b + 3c = (14, -8) + (7, -3) + (9, 27)
]
[
= (14 + 7 + 9, -8 - 3 + 27) = (30, 16)
]
Шаг 3: Найти длину вектора ((30, 16)):
[
|\vec{v}| = \sqrt{30^2 + 16^2} = \sqrt{900 + 256} = \sqrt{1156} = 34
]
Ответ: длина вектора равна 34.
2. Найти скалярное произведение векторов ( a(7, -9) ) и ( b(-5, 2) )
Формула скалярного произведения:
[
a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2
]
Подставляем:
[
7 \times (-5) + (-9) \times 2 = -35 - 18 = -53
]
Ответ: скалярное произведение равно -53.
3. При каком значении ( x ) векторы ( a(-11, x) ) и ( b(-6, -11) ) перпендикулярны?
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Посчитаем:
[
a \cdot b = (-11) \times (-6) + x \times (-11) = 66 - 11x
]
Приравниваем к нулю:
[
66 - 11x = 0 \Rightarrow 11x = 66 \Rightarrow x = 6
]
Ответ: ( x = 6 ).
4. При каком значении ( x ) векторы ( a(x, -11) ) и ( b(-88, -88) ) коллинеарны?
Коллинеарность означает, что один вектор является кратным другого:
[
a = \lambda b
]
Запишем координаты:
[
(x, -11) = \lambda (-88, -88)
]
Тогда пропорции:
[
x = \lambda (-88)
]
[
-11 = \lambda (-88)
]
Из второго уравнения:
[
-11 = -88 \lambda \Rightarrow \lambda = \frac{-11}{-88} = \frac{1}{8}
]
Подставляем в первое уравнение:
[
x = \frac{1}{8} \times (-88) = -11
]
Ответ: ( x = -11 ).
5. При каком наибольшем значении ( x ) модуль вектора ( AB ) равен 25, если ( X(-1, x) ), ( B(6, 31) )
Координаты:
- ( A(-1, x) )
- ( B(6, 31) )
Находим вектор ( \vec{AB} ):
[
\vec{AB} = (6 - (-1), 31 - x) = (7, 31 - x)
]
Модуль:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{7^2 + (31 - x)^2} = 25
]
Раскроем:
[
\sqrt{49 + (31 - x)^2} = 25
]
Квадрат обеих частей:
[
49 + (31 - x)^2 = 625
]
[
(31 - x)^2 = 625 - 49 = 576
]
[
31 - x = \pm \sqrt{576} = \pm 24
]
Рассмотрим два варианта:
- ( 31 - x = 24 \Rightarrow x = 7 )
- ( 31 - x = -24 \Rightarrow x = 55 )
Наибольшее значение:
[
\boxed{x = 55}
]
6. Найти косинус угла между векторами ( a(0, -10) ) и ( b(-6, 8) )
Используем формулу:
[
\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}
]
Шаг 1: Скалярное произведение:
[
0 \times (-6) + (-10) \times 8 = 0 - 80 = -80
]
Шаг 2: Длина векторов:
[
|a| = \sqrt{0^2 + (-10)^2} = 10
]
[
|b| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
]
Шаг 3: Косинус:
[
\cos \theta = \frac{-80}{10 \times 10} = \frac{-80}{100} = -0.8
]
Ответ: (\boxed{\cos \theta = -0.8}).
7. Найти скалярное произведение векторов ( a ) и ( b ), если ( |a| = \frac{5\sqrt{2}}{2} ), ( |b| = 2 ), и угол между ними ( 45^\circ )
Используем формулу:
[
a \cdot b = |a| |b| \cos \theta
]
Подставляем:
[
a \cdot b = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times 2 \times \cos 45^\circ
]
Так как ( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ), получаем:
[
a \cdot b = \frac{5\sqrt{2}}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Сначала сократим:
[
= 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Поскольку ( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 ):
[
= 5 \times \frac{2}{2} = 5
]
Ответ: скалярное произведение равно 5.
Если нужно более подробно объяснить любой шаг, спрашивайте!
