Конечно! Ниже приведены исправленные предложения с объяснениями ошибок и правильной их формой.
1). Никто не удивился, что он шел и стал копать вместе с рабочими.
Объяснение: В прошедшем времени глагол "идёт" нужно заменить на "шёл" для соответствия виду прошедшего времени. Также "стал" уже стоит в прошедшем времени, всё верно.
2). Взошло солнце, позолотило перила веранды и открыло вокруг необыкновенную чистоту и свежесть.
Объяснение: Время "открывает" — настоящее, а описание произошло в прошлом, следовательно, надо заменить на "открыло".
3). История обогатила нас новыми идеями и расширила наш умственный горизонт.
Объяснение: В первом глаголе — прошедшее "обогатила", следовательно, второй глагол тоже нужно поставить в прошедшее "расширила".
4). В описании Петербурга на страницах романа «Преступление и наказание» Достоевский использовал мрачные краски, преимущественно темные, грязно-жёлтые, и этим показал своё отношение к городу Раскольникова.
Объяснение: Время "использует" — настоящее; поскольку речь идет о литературных образах, лучше оставить в прошедшем — "использовал".
5). Всё в мире этом, бушующем страстями, взрывающемся катаклизмами, происходит неслучайно и не шло само собой, как порой думают те, кто не хочет нести ответственность за происходящее.
Объяснение: Время "происходит" — настоящее, правильно оставить так, так как описывается постоянное явление.
6). В жизни случаются разочарования, и неприятности были — их нужно научиться преодолевать.
Объяснение: Фраза "были" — прошедшее время, тогда как о необходимости их преодолевать говорит о настоящем или общем положительном отношении — лучше оставить в настоящем: "есть" или "бывают".
Исправление: "В жизни случаются разочарования, и неприятности бывают — их нужно научиться преодолевать."
7). Иван Андреевич внимательно осмотрелся и шел прямо к столу, о котором только что говорили свидетели.
Объяснение: Первый глагол — прошедшее "осмотрелся", второй — связка с прошедшим — "шел". Тогда "идёт" нужно заменить на "шел".
8). Спасительный оазис то показывался, то исчезал снова.
Объяснение: "показывался" — прошедшее, "исчезалась" — неправильно, правильное — "исчезал".
9). Мы — его ученики — шли на урок, чтобы послушать его, чтобы познакомиться с новым и неизведанным, чтобы поделиться тем, что нас волнует.
Объяснение: "прика-саться" — опечатка, и лучше заменить на "познакомиться".
10). В тексте поднимается проблема «отцов и детей», ставшая традиционной для русской классики, и раскрыто отношение автора к молодому поколению.
Объяснение: Вторая часть — незавершенное предложение. Лучше: "и раскрыто отношение...", чтобы придать смысл.
11). Нам, к всеобщей радости, оплатили сверхурочную работу и отпустят отдыхать.
Объяснение: Глаголы должны быть согласованы по времени. Вначале — прошедшее "оплатили", далее — "отпустили" (также прошедшее).
Исправление: "Нам, к всеобщей радости, оплатили сверхурочную работу и отпустили отдыхать."
12). Мы подолгу беседовали о прочитанном и иногда злоупотребляли временем.
Объяснение: В первом — прошедшее "беседовали", во втором — "злоупотребляли". Всё правильно.
13). Все радовались тому, что экзамены закончатся, и теперь можно немного отдохнуть.
Объяснение: "закончатся" — будущее время, правильно, так как говорим о будущем. Вторая часть — "можно немного отдохнуть" — тоже верно.
14). Писатель начал и закончил рассказ рассуждениями о роли детства в жизни человека.
Объяснение: Можно оставить так, так как речь идет о завершенном действии.
15). То садился он на диван, то подходил к окну, то брался за книгу, то хотел мыслить — безуспешное хотенье.
Объяснение: Нужно заменить "принимается" на "брался", "хотенье" — на правильное слово "хотенье" или "желание". Также convert the phrase to правильный стиль.
Если нужны дополнительные объяснения или есть вопросы, я готов помочь!