Давайте разберём каждое предложение по порядку, раскрывая приставки "не-" в словах и определяя, в каком слове эта приставка является частью отрицательного слова.
Вокруг были лишь (не)радостные лица.
— Здесь слово "нерадостные" — это отрицательное прилагательное, образованное с помощью приставки "не".
— В этом случае правильно: "нерадостные".(Не)(у)кого остановиться сегодня.
— В данном случае есть два варианта: слово "некого" или "неу кого".
— Правильное слово — "некого" (слово пишется слитно).
— Значит, здесь приставка "не" входит в состав слова "некого", а "у кого" — отдельная фраза.
— Итог: "некого" — слово.Мы поднимались на гору, (не)надеясь увидеть деревню.
— В этом случае слово — "не надеясь" — это формы отрицательного причастия.
— В слове "не надеясь" приставка "не" пишется отдельно, потому что это отрицание при причастии.
— Следовательно, слово — "не надеясь".
— В вопросе говорится о словах, поэтому правильный ответ — "не надеясь" (слитно или раздельно зависит от контекста, но обычно в подобных случаях раздельно).Многие его композиции так и (не)сыграны.
— Зависит от контекста. Здесь слово "несыграны" — страдательное причастие, образованное с отрицательной частицей «не», которое обычно пишется слитно.
— Значит, это слово — "несыграны".Та программа вовсе (не)скучная.
— Здесь речь идет о слове "нескучная" — отрицательное прилагательное, образованное с помощью приставки "не" — пишется слитно.
— Правильно — "нескучная".
Итог:
Нужно выбрать слово, в котором НЕ- — приставка.
Конечно, в каждом из перечисленных слов, где "не" есть частью слова, оно является приставкой (например, "нерадостные", "некого", "несыграны", "нескучная"). Но в случае с "не надеясь" — это отделённая частица, и "не" здесь — частица, не являющаяся приставкой к слову, а частью формы отрицания.
Ответ: "не надеясь" — в нём "не" не является приставкой, а — частью отрицательной формы.
Если есть еще вопросы, могу помочь дополнительно!