Реши уравнение

Решим уравнение, которое у вас на изображении: \[ \frac{\frac{x-4}{x} - \frac{x+4}{x+8}}{\frac{8}{x} - \frac{4}{x+8}} = 3 \] Шаг 1. Упростим числитель и знаменатель отдельно. **Числитель:** \[ \frac{x-4}{x} - \frac{x+4}{x+8} \] Для сложения этих двух дробей приводим их к общему знаменателю \(x(x+8)\): \[ \frac{(x-4)(x+8)}{x(x+8)} - \frac{(x+4)x}{x(x+8)} \] Раскроем скобки: \[ \frac{(x-4)(x+8)}{x(x+8)} - \frac{x(x+4)}{x(x+8)} \] Посчитаем числители: \[ (x-4)(x+8) = x(x+8) - 4(x+8) = x^2 + 8x - 4x - 32 = x^2 + 4x - 32 \] \[ x(x+4) = x^2 + 4x \] Теперь числитель дроби: \[ (x^2 + 4x - 32) - (x^2 + 4x) = x^2 + 4x - 32 - x^2 - 4x = -32 \] Итак, числитель: \[ \frac{-32}{x(x+8)} \] **Знаменатель:** \[ \frac{8}{x} - \frac{4}{x+8} \] Общий знаменатель – \(x(x+8)\): \[ \frac{8(x+8)}{x(x+8)} - \frac{4x}{x(x+8)} \] Раскроем скобки: \[ \frac{8x + 64}{x(x+8)} - \frac{4x}{x(x+8)} \] Объединим числители: \[ (8x + 64) - 4x = 8x + 64 - 4x = 4x + 64 \] Итак, знаменатель: \[ \frac{4x + 64}{x(x+8)} \] Шаг 2. Теперь у нас есть исходное уравнение: \[ \frac{\frac{-32}{x(x+8)}}{\frac{4x + 64}{x(x+8)}} = 3 \] Когда делим дроби, делим числитель на делитель: \[ \frac{-32}{x(x+8)} \times \frac{x(x+8)}{4x + 64} = 3 \] Обратите внимание, что \(x(x+8)\) в numerator и denominator сокращаются, если они не равны нулю: \[ \frac{-32}{4x + 64} = 3 \] Шаг 3. Решим уравнение: \[ \frac{-32}{4x + 64} = 3 \] Перемножим обе части на \(4x + 64\): \[ -32 = 3(4x + 64) \] Раскроем скобки: \[ -32 = 12x + 192 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 12x + 192 + 32 = 0 \] \[ 12x + 224 = 0 \] Решим для \(x\): \[ 12x = -224 \] \[ x = -\frac{224}{12} = -\frac{56}{3} \] **Ответ:** \[ x = -\frac{56}{3} \] **Проверка:** Обратим внимание, что условие деления предполагает \(x(x+8) \neq 0\) и \(4x + 64 \neq 0\): - \(x \neq 0\) - \(x \neq -8\) - \(4x + 64 \neq 0 \Rightarrow x \neq -16\) Наше решение \(x = -\frac{56}{3} \approx -18.67\), что не равно -8, 0 или -16, значит, оно допустимо. --- Если нужно более подробно разобрать шаги или есть дополнительные вопросы — спрашивайте!