Реши уравнение
Решим уравнение, которое у вас на изображении:
\[ \frac{\frac{x-4}{x} - \frac{x+4}{x+8}}{\frac{8}{x} - \frac{4}{x+8}} = 3 \]
Шаг 1. Упростим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
\[ \frac{x-4}{x} - \frac{x+4}{x+8} \]
Для сложения этих двух дробей приводим их к общему знаменателю \(x(x+8)\):
\[ \frac{(x-4)(x+8)}{x(x+8)} - \frac{(x+4)x}{x(x+8)} \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{(x-4)(x+8)}{x(x+8)} - \frac{x(x+4)}{x(x+8)} \]
Посчитаем числители:
\[ (x-4)(x+8) = x(x+8) - 4(x+8) = x^2 + 8x - 4x - 32 = x^2 + 4x - 32 \]
\[ x(x+4) = x^2 + 4x \]
Теперь числитель дроби:
\[ (x^2 + 4x - 32) - (x^2 + 4x) = x^2 + 4x - 32 - x^2 - 4x = -32 \]
Итак, числитель:
\[ \frac{-32}{x(x+8)} \]
Знаменатель:
\[ \frac{8}{x} - \frac{4}{x+8} \]
Общий знаменатель – \(x(x+8)\):
\[ \frac{8(x+8)}{x(x+8)} - \frac{4x}{x(x+8)} \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{8x + 64}{x(x+8)} - \frac{4x}{x(x+8)} \]
Объединим числители:
\[ (8x + 64) - 4x = 8x + 64 - 4x = 4x + 64 \]
Итак, знаменатель:
\[ \frac{4x + 64}{x(x+8)} \]
Шаг 2. Теперь у нас есть исходное уравнение:
\[ \frac{\frac{-32}{x(x+8)}}{\frac{4x + 64}{x(x+8)}} = 3 \]
Когда делим дроби, делим числитель на делитель:
\[ \frac{-32}{x(x+8)} \times \frac{x(x+8)}{4x + 64} = 3 \]
Обратите внимание, что \(x(x+8)\) в numerator и denominator сокращаются, если они не равны нулю:
\[ \frac{-32}{4x + 64} = 3 \]
Шаг 3. Решим уравнение:
\[ \frac{-32}{4x + 64} = 3 \]
Перемножим обе части на \(4x + 64\):
\[ -32 = 3(4x + 64) \]
Раскроем скобки:
\[ -32 = 12x + 192 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 12x + 192 + 32 = 0 \] \[ 12x + 224 = 0 \]
Решим для \(x\):
\[ 12x = -224 \] \[ x = -\frac{224}{12} = -\frac{56}{3} \]
Ответ:
\[ x = -\frac{56}{3} \]
Проверка:
Обратим внимание, что условие деления предполагает \(x(x+8) \neq 0\) и \(4x + 64 \neq 0\):
- \(x \neq 0\)
- \(x \neq -8\)
- \(4x + 64 \neq 0 \Rightarrow x \neq -16\)
Наше решение \(x = -\frac{56}{3} \approx -18.67\), что не равно -8, 0 или -16, значит, оно допустимо.
Если нужно более подробно разобрать шаги или есть дополнительные вопросы — спрашивайте!
