Найдите четыре числа, образующих арифметическую прогрессию, если сумма первого и второго чисел равна (-7), а произведение третьего и четвёртого равно 4

Рассмотрим задачу: нужно найти четыре числа, образующие арифметическую прогрессию, при этом сумма первого и второго равна -7, а произведение третьего и четвертого равно 4. Обозначим числа следующим образом: 1. Пусть первое число — \( a \). 2. Тогда второй — \( a + d \), где \( d \) — шаг прогрессии. 3. Третий — \( a + 2d \). 4. Четвертый — \( a + 3d \). Требуется выполнить условия: 1. \( a + (a + d) = -7 \). 2. \( (a + 2d) \times (a + 3d) = 4 \). Рассмотрим по шагам. --- ### Шаг 1: Запишем условие суммы \[ a + a + d = -7 \\ 2a + d = -7 \quad \Rightarrow \quad d = -7 - 2a \] --- ### Шаг 2: Запишем условие произведения \[ (a + 2d)(a + 3d) = 4 \] Подставим \( d = -7 - 2a \): \[ (a + 2(-7 - 2a))(a + 3(-7 - 2a)) = 4 \] Рассчитаем каждое выражение внутри скобок: \[ a + 2(-7 - 2a) = a - 14 - 4a = -14 - 3a \] \[ a + 3(-7 - 2a) = a - 21 - 6a = -21 - 5a \] Теперь получаем: \[ (-14 - 3a)(-21 - 5a) = 4 \] --- ### Шаг 3: Раскроем скобки Используем формулу произведения: \[ (-14)(-21) + (-14)(-5a) + (-3a)(-21) + (-3a)(-5a) = 4 \] Рассчитаем каждое слагаемое: \[ 294 + 70a + 63a + 15a^2 = 4 \] Сложим подобные: \[ 294 + (70a + 63a) + 15a^2 = 4 \] \[ 294 + 133a + 15a^2 = 4 \] Перенесем все в левую сторону уравнения: \[ 15a^2 + 133a + 294 - 4 = 0 \] \[ 15a^2 + 133a + 290 = 0 \] --- ### Шаг 4: Решим квадратное уравнение Дано: \[ 15a^2 + 133a + 290 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 133^2 - 4 \times 15 \times 290 \] Посчитаем: \[ 133^2 = 17689 \] \[ 4 \times 15 \times 290 = 4 \times 15 \times 290 = 4 \times 4350 = 17400 \] Значит, \[ D = 17689 - 17400 = 289 \] Дискриминант положителен, можно найти корни: \[ a = \frac{-133 \pm \sqrt{289}}{2 \times 15} \] \[ \sqrt{289} = 17 \] Итак, \[ a = \frac{-133 \pm 17}{30} \] Рассмотрим оба случая: 1. \( a = \frac{-133 + 17}{30} = \frac{-116}{30} = -\frac{58}{15} \) 2. \( a = \frac{-133 - 17}{30} = \frac{-150}{30} = -5 \) --- ### Шаг 5: Находим \( d \) - Для \( a = -\frac{58}{15} \): \[ d = -7 - 2a = -7 - 2 \left( -\frac{58}{15} \right) = -7 + \frac{116}{15} \] Приведем к общему знаменателю: \[ -7 = -\frac{105}{15} \] Тогда: \[ d = -\frac{105}{15} + \frac{116}{15} = \frac{11}{15} \] - Для \( a = -5 \): \[ d = -7 - 2(-5) = -7 + 10 = 3 \] --- ### Итоговые решения **Первый набор:** \[ a = -\frac{58}{15}, \quad d = \frac{11}{15} \] Члены прогрессии: \[ a = -\frac{58}{15} \] \[ a + d = -\frac{58}{15} + \frac{11}{15} = -\frac{47}{15} \] \[ a + 2d = -\frac{58}{15} + 2 \times \frac{11}{15} = -\frac{58}{15} + \frac{22}{15} = -\frac{36}{15} = -\frac{12}{5} \] \[ a + 3d = -\frac{58}{15} + 3 \times \frac{11}{15} = -\frac{58}{15} + \frac{33}{15} = -\frac{25}{15} = -\frac{5}{3} \] **Второй набор:** \[ a = -5, \quad d = 3 \] Члены прогрессии: \[ a = -5 \] \[ a + d = -5 + 3 = -2 \] \[ a + 2d = -5 + 6 = 1 \] \[ a + 3d = -5 + 9 = 4 \] --- ### Проверка условий - Первый набор: сумма первых двух: \[ a + (a + d) = -\frac{58}{15} - \frac{47}{15} = -\frac{105}{15} = -7 \] Произведение третьего и четвертого: \[ -\frac{12}{5} \times -\frac{5}{3} = \frac{12}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{12}{3} = 4 \] - Второй набор: сумма: \[ -5 + (-2) = -7 \] Произведение: \[ 1 \times 4 = 4 \] Оба набора решений подходят. --- ### Итог: **Ответ:** Первый набор: \[ \boxed{ \text{Числа:} \quad -\frac{58}{15}, \quad -\frac{47}{15}, \quad -\frac{12}{5}, \quad -\frac{5}{3} } \] Второй набор: \[ \boxed{ \text{Числа:} \quad -5, \quad -2, \quad 1, \quad 4 } \] Эти четыре числа образуют арифметическую прогрессию и удовлетворяют заданным условиям.