Решить задачу
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Задача связана с вероятностью событий, связанных с бросанием монет и орлом/решкой. Вот условие:
При трёхкратном бросании монеты в первый раз выпала решка. Найдите условную вероятность события:
а) «три раза выпадает решка»
б) «орёл выпадет ровно один раз».
Шаг 1. Определим возможные исходы при трёхкратном бросании
Общее пространство исходов при трёх бросках монеты — все возможные комбинации из букв «Р» (решка) и «О» (орёл). Их всего 8:
- Р-Р-Р
- Р-Р-О
- Р-О-Р
- О-Р-Р
- Р-О-О
- О-Р-О
- О-О-Р
- О-О-О
Шаг 2. Условие: первый результат — решка
Нас интересуют только те исходы, в которых первая броска — Р. Тогда возможные исходы:
- Р-Р-Р
- Р-Р-О
- Р-О-Р
- Р-О-О
Итак, среди 8 исходов выбран 4.
Шаг 3. Решаем задачу а): найти вероятность, что всего три раза решка, при условии, что первая решка уже выпала.
Здесь нам нужно — условная вероятность события:
A: «все три броска — решка» (Р-Р-Р)
при условии, что первый — Р (все исходы ⋂ условие).
Обозначим:
- A: три раза решка → Р-Р-Р.
- B: первая — решка, и любой из 4 исходов, подходящих условию.
Общая вероятность события B (по условию — зная, что первый бросок — решка), равна вероятности, что первый — решка и любой исход из четырех возможных — это 1/4 (так как 4 подходящих исхода из 8, но мы считаем только те, где первый — Р, следовательно, всего 4 исхода в условии).
Обратимся к условной вероятности:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
\( P(B) \): вероятность, что первый — Р.
В полном пространстве — 4 из 8, поэтому \( P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).\( P(A \cap B) \): вероятность, что первый — Р и все три — Р.
Это только один исход — Р-Р-Р, где первый — Р. Следовательно, его вероятность — \( \frac{1}{8} \).
Т.к. событие «все три — решка» входит только в один исход из всего условного пространства, где первый — Р, его условная вероятность:
\[ P(A|B) = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{4}{8}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1/8}{4/8} = \frac{1}{4} \]
Ответ на а): 1/4.
Шаг 4. Решаем задачу б): найти вероятность, что орёл выпадет ровно один раз, при условии, что первый бросок — решка.
Описание: теперь ищем — условная вероятность, что орёл выпадет ровно один раз, при этом первый бросок — решка.
Обозначим:
- C: событие, что в трёх бросках ровно один орёл.
- Имплементация — исход: Р-О-О, Р-О-Р, Р-Р-О.
Из возможных исходов (при условии что первый — Р) нас интересуют только те, где в общей сложности всего один О, причём первый — Р.
Посмотрим возможные комбинации из 4 подходящих исходов (Р-Р-Р, Р-Р-О, Р-О-Р, Р-О-О):
- Р-Р-Р: в нем 0 орлов — не подходит
- Р-Р-О: в нем 1 орёл — подходит
- Р-О-Р: в нем 2 орла — не подходит
- Р-О-О: в нем 2 орла — не подходит
Итак, только один исход — Р-Р-О — соответствует условию.
Вероятность этого исхода в полном пространстве — равно 1/8.
Общее число подходящих исходов при условии, что первый — Р, — равно 4.
Из них — один исход — Р-Р-О, вероятностное отношение:
\[ P(C|B) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{число всех исходов с первым Р}} = \frac{1}{4} \]
(так как 4 исхода, где первый — Р, и один из них — Р-Р-О).
Ответ на б): 1/4.
Итоговые ответы:
а) Вероятность, что все три раза — решка, при условии что первый — решка: 1/4.
б) Вероятность, что орёл выпадет ровно один раз, при условии что первый — решка: 1/4.
Если нужно подробнее, могу помочь дополнительно!
