Сформулируйте и докажите обобщённую теорему Фалеса

Теорема Фалеса: Если через одну точку, лежащую на одной прямой, провести параллельные прямые, то они разделят другую прямую на сегменты, пропорциональные исходным прямым.

Доказательство: Пусть AB и CD — прямые, проходящие через точку E, и параллельные прямые MN и PQ. Доказываем, что AE/NE=DE/ME.

Возьмем треугольники АБЕ и СДЕ. Так как М и N — середины соответственно отрезков АС и ЕД, то MN || AC и MN = 1/2·AC. Аналогично, PQ || BD и PQ = 1/2·BD.

По теореме о средних линиях М = 1/2·NE и N = 1/2·AE. Следовательно, MN/NE = 1/2·AC/NE и NE = 2·MN. Аналогично, PQ/ME = 1/2·BD/ME и ME = 2·PQ.

Таким образом, MN/NE = AC/2·NE и после умножения на 2 получаем: 2·MN/NE = AC/NE. Обозначим 2·MN/NE = DE/ME = k (константа).

Из полученного равенства равными сегментами можно разделить отрезок CD на отрезки AD и DB. Так как MN и PQ || CD, то по теореме о параллельности соответственных сторон MN/NE = PQ/ME. Найдем отношения PQ/ME и AD/DB.

PQ/ME = 1/2·BD/ME (по теореме средних линий) и AD/DB = AC/NE (по доказанному ранее равенству).

Таким образом, 1/2·BD/ME = AC/NE = k. Отсюда следует BD/ME = 2·k. но BD/ME = k (по доказанному ранее равенству). Таким образом, k = 2·k, что является возможным только в случае, когда k = 0.

Следовательно, AC/NE = 0 и AC = 0. Это возможно только в случае, если NE = 0, то есть точка E совпадает с точкой M. То есть прямые AB и CD пересекаются в точке E.

Таким образом, доказана теорема Фалеса.