При подбрасывании монеты мы полагаем что вероятность проявление орла равна 0,5 будет ли верным ожидать что при количестве бросков монеты равном 100 орел выпадет 48 раз?

Рассмотрим задачу, в которой мы подбрасываем честную монету 100 раз. Вероятность выпадения орла в одном броске равна 0,5. Нам нужно понять, насколько вероятно, что за 100 бросков орёл выпадет ровно 48 раз.

Шаг 1. Определение модели

Такая ситуация хорошо моделируется биномиальной случайной величиной:

• число испытаний \( n = 100 \)
• вероятность успеха (выпадения орла) в одном испытании \( p = 0,5 \)
• количество успехов (выпадений орла) \( X \sim \text{Bin}(n, p) \)

Нас интересует, чему равна вероятность события: \[ P(X = 48) \]

Шаг 2. Формула биномиальной вероятности

Вероятность того, что орел выпадет ровно 48 раз, считается по формуле: \[ P(X = 48) = \binom{100}{48} p^{48} (1-p)^{52} \] где: \[ \binom{100}{48} = \frac{100!}{48! \times 52!} \]

Шаг 3. Оценка вероятности

Вычислить напрямую это очень сложно вручную из-за больших факториалов. Вот несколько подходов:

• Приближение нормальным распределением – для большого \( n \), биномиальное распределение приближается к нормальному с параметрами: \[ \mu = n p = 50 \] \[ \sigma = \sqrt{n p (1-p)} = \sqrt{100 \times 0.5 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5 \]

• Значит, вероятность, что число орлов будет ровно 48, можно оценить через нормальное приближение с учётом непрерывности:

  \[ P(47.5 < X < 48.5) \approx \text{Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина с } \mu=50, \sigma=5 \text{ примет значение около 48} \]

Шаг 4. Расчет по нормальному приближению

Стандартизация: \[ z = \frac{48 - \mu}{\sigma} = \frac{48 - 50}{5} = -0,4 \]

Значение из таблицы стандартного нормального распределения для \( z = -0,4 \): \[ \Phi(-0,4) \approx 0,3446 \]

Используя приближение: \[ P(47.5 < X < 48.5) \approx \Phi(z_1) - \Phi(z_2) \] где

• \( z_1 = \frac{47.5 - 50}{5} = -0.5 \)
• \( z_2 = \frac{48.5 - 50}{5} = -0.3 \)

Из таблицы: \[ \Phi(-0.5) \approx 0.3085 \] \[ \Phi(-0.3) \approx 0.3821 \]

Окончательное приближение: \[ P \approx 0.3821 - 0.3085 = 0.0736 \]

Вывод

Вероятность того, что при 100 бросках честной монеты орёл выпадет ровно 48 раз, примерно равна 7,4%.

Ответ:

Нет, нельзя сказать, что вполне вероятно ожидать именно 48 выпадений орла. Вероятность этого события около 7,4%, что считается относительно низким для строгого ожидания, но не маловероятным. Обычно можно ожидать число орлов, близкое к среднему — около 50 раз.