Какое из чисел a, записанных в двоичной системе, удовлетворяет условию 78₁₆ < a < 172₈?

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Задача: найти такие числа \(a\), записанные в двоичной системе (то есть в виде строки из нулей и единиц), что они удовлетворяют условию: \[78_{16} < a < 172_8\]

Шаг 1. Перевести границы из систем счисления в десятичную систему.

Для этого нужно перевести каждое число из заданной системы в десятичную.

Перевод \(78_{16}\) (шестнадцатеричная) в десятичную:

• \(7_{16}\) в десятичной — 7
• \(8_{16}\) в десятичной — 8

Значит, \[ 78_{16} = 7 \times 16^1 + 8 \times 16^0 = 7 \times 16 + 8 = 112 + 8 = 120 \]

Перевод \(172_8\) (восьмеричная) в десятичную:

• \(1_{8}\) — 1
• \(7_{8}\) — 7
• \(2_{8}\) — 2

Позиции: сотни, десятки, единицы:

\[ 172_8 = 1 \times 8^2 + 7 \times 8^1 + 2 \times 8^0 = 1 \times 64 + 7 \times 8 + 2 = 64 + 56 + 2 = 122 \]

Шаг 2. Записать неравенство в десятичной системе:

\[ 120 < a < 122 \]

Это означает, что \(a\) — число, строго больше 120 и строго меньше 122.

Шаг 3. Определить возможные значения \(a\):

• Так как \(a\) — целое число, то \(a\) может быть только 121, так как:
  • 121 — целое число между 120 и 122
  • 120 и 122 не подходят (они равны границам или вне их).

Шаг 4. Записать число 121 в двоичной системе.

Переведем 121 в двоичную систему:

• Делим 121 на 2 и записываем остатки:

\[ \begin{aligned} 121 \div 2 &= 60 \text{ остаток } 1 \\ 60 \div 2 &= 30 \text{ остаток } 0 \\ 30 \div 2 &= 15 \text{ остаток } 0 \\ 15 \div 2 &= 7 \text{ остаток } 1 \\ 7 \div 2 &= 3 \text{ остаток } 1 \\ 3 \div 2 &= 1 \text{ остаток } 1 \\ 1 \div 2 &= 0 \text{ остаток } 1 \end{aligned} \]

Записываем остатки в обратном порядке: \(\text{от последнего к первому}\):

\[ \text{двойчатое представление: } 1111001_2 \]

Ответ:

Единственное число в двоичной системе, удовлетворяющее условию:
\[ \boxed{1111001_2} \]

Если потребуется, могу помочь с чем-нибудь еще!