Давайте подробно решим эту задачу по шагам.
Дано:
- Расстояние между городами А и В: ( S = 120, \text{км} )
- Скорость при выезде из А в В: ( v ) (неизвестна)
- Скорость при возвращении из В в А: ( v + 10, \text{км/ч} )
- Остановка на обратном пути: 6 часов
- Время на обратном пути равно времени на путь из А в В.
Задача: найти скорость возврата ( v + 10 , \text{км/ч} ).
Шаг 1: Запишем выражения для времени пути
Время в первый день (из А в В):
[
t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{v}
]
Время во второй день (из В в А):
Обратите внимание, что на обратном пути есть остановка 6 часов, а только дорога занимает:
[
t_2 = \frac{S}{v + 10}
]
Но при этом известно, что:
[
t_2 + 6 = t_1
]
так как общее время обратного пути равно времени прямого.
Шаг 2: Запишем уравнение
Из условия:
[
t_2 + 6 = t_1
]
подставим выражения:
[
\frac{120}{v + 10} + 6 = \frac{120}{v}
]
Шаг 3: Решим уравнение относительно ( v )
Перенесем \чусло в левую часть:
[
\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = 6
]
Объединим левую часть, приводя к общему знаменателю:
[
\frac{120(v + 10) - 120 v}{v (v + 10)} = 6
]
Раскроем числитель:
[
\frac{120v + 1200 - 120v}{v (v + 10)} = 6
]
Упростим числитель:
[
\frac{1200}{v (v + 10)} = 6
]
Теперь умножим обе части на ( v (v + 10) ):
[
1200 = 6 \times v (v + 10)
]
Разделим обе части на 6:
[
200 = v (v + 10)
]
Раскроем скобки:
[
200 = v^2 + 10 v
]
Это квадратное уравнение:
[
v^2 + 10 v - 200 = 0
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Используем формулу корней:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=1 ), ( b=10 ), ( c=-200 ).
Подставим:
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \times 1 \times (-200)}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm 30}{2}
]
Получаем два решения:
- ( v = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10 )
- ( v = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20 )
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:
[
v = 10, \text{км/ч}
]
Ответ:
Скорость Димы на пути из В в А — 10 км/ч.
Если нужно, я могу объяснить еще раз или рассмотреть дополнительные аспекты.
