Реши систему на фото
Давайте подробно решим приведённую систему уравнений.
Дана система:
- \((x - 4)(y - 6) = 0\)
- \(\frac{y - 4}{x + y - 8} = 2\)
- \((x - 4)(y - 6) = 0\) (повторно, значит уравнение 3 — то же самое, что и 1)
- \(y - 4 = 2(x + y - 8)\)
Шаг 1. Анализ уравнений.
Уравнение \((x - 4)(y - 6) = 0\) выполняется, если хотя бы один множитель равен нулю:
- Либо \(x = 4\),
- либо \(y = 6\).
Это означает, что решения лежат на двух линиях:
- Линия 1: \(x = 4\),
- Линия 2: \(y = 6\).
Рассмотрим оба варианта отдельно.
Вариант 1: \(x = 4\)
Подставим в уравнение 2:
\[ \frac{y - 4}{x + y - 8} = 2 \]
Подставляю \(x = 4\):
\[ \frac{y - 4}{4 + y - 8} = 2 \]
Упростим знаменатель:
\[ \frac{y - 4}{y - 4} = 2 \]
Обратите внимание, что \(y - 4\) в числителе и знаменателе — это одна и та же выражение. Значит, условие:
\[ \frac{y - 4}{y - 4} = 2 \]
выполняется только если:
- \(y - 4 \neq 0\), то есть \(y \neq 4\).
И тогда:
\[ 1 = 2 \]
Произойдёт противоречие — значит, при \(x=4\), решений по системе нет (потому что уравнение 2 не выполняется ни при каком \(y\), исключая \(y=4\), при этом получается противоречие).
Вариант 2: \(y = 6\)
Подставим в уравнение 2:
\[ \frac{6 - 4}{x + 6 - 8} = 2 \]
Упростим:
\[ \frac{2}{x - 2} = 2 \]
Решим это уравнение:
\[ 2 = 2(x - 2) \]
\[ 2 = 2x - 4 \]
Добавляем 4 к обеим частям:
\[ 2 + 4 = 2x \] \[ 6 = 2x \] \[ x = 3 \]
Теперь проверим, что \(x = 3\) и \(y = 6\) удовлетворяют уравнению 4:
\[ y - 4 = 2(x + y - 8) \]
Подставляем:
\[ 6 - 4 = 2(3 + 6 - 8) \]
Левые:
\[ 2 \]
Правые:
\[ 2(1) = 2 \]
Равно! Значит, это решение подходит.
Итог: решение системы
- \(x = 3\),
- \(y = 6\).
Ответ: \(\boxed{(x, y) = (3, 6)}\)
Это единственное решение системы.
