9x-4y/3√x+2√y+5√y,если √x+√y=-6
Давайте разберем задачу пошагово.
Задача:
\[ \frac{9x - 4y}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 5\sqrt{y}} \],
при условии, что \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = -6\).
Шаг 1: Ввести новые переменные
Обозначим:
\[ a = \sqrt{x} \]
\[ b = \sqrt{y} \]
Тогда:
\[ x = a^2 \]
\[ y = b^2 \]
Перепишем исходное выражение через \(a\) и \(b\).
Шаг 2: Передача выражения в терминах \(a\) и \(b\)
Числитель:
\[ 9x - 4y = 9a^2 - 4b^2 \]
Знаменатель:
\[ 3a + 2b + 5b = 3a + 7b \]
Итак, исходное выражение:
\[ \frac{9a^2 - 4b^2}{3a + 7b} \]
При условии:
\[ a + b = -6 \]
Шаг 3: Выразить числитель через сумму \((a + b)\)
Обратите внимание, что числитель — это разность квадратов:
\[ 9a^2 - 4b^2 \]
Может ли это быть факторизовано?
Да, по формуле разности квадратов:
\[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]
Применяем к числителю:
\[ 9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a - 2b)(3a + 2b) \]
Шаг 4: Вычислить или упростить выражение
Зная, что:
\[ a + b = -6 \]
Для дальнейшего упрощения нам нужно как-то связать \(3a - 2b\) и \(3a + 2b\).
Рассмотрим сумму и разность этих выражений:
- \(3a + 2b\) — это часть знаменателя.
- \(3a - 2b\) — другая часть.
Известно, что \(a + b = -6\).
Постараемся выразить \(3a - 2b\) через \(a + b\).
Шаг 5: Выразить \(3a - 2b\) через \(a + b\)
Дополним систему:
- \(a + b = -6\)
Попробуем выразить \(b\):
\[ b = -6 - a \]
Теперь подставим в выражение \(3a - 2b\):
\[ 3a - 2b = 3a - 2(-6 - a) = 3a + 12 + 2a = (3a + 2a) + 12 = 5a + 12 \]
Тогда:
\[ 3a + 2b = 3a + 2(-6 - a) = 3a - 12 - 2a = (3a - 2a) - 12 = a - 12 \]
Шаг 6: Переписать числитель и знаменатель
Числитель:
\[ (3a - 2b)(3a + 2b) = (5a + 12)(a - 12) \]Знаменатель:
\[ 3a + 7b \]
Подставим \(b = -6 - a\):
\[ 3a + 7b = 3a + 7(-6 - a) = 3a - 42 - 7a = (3a - 7a) - 42 = -4a - 42 \]
Шаг 7: Итоговое выражение
Тогда функция принимает вид:
\[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4a - 42} \]
или
\[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4(a + 10.5)} \]
Шаг 8: Вспомогательные выводы
Важно помнить, что \(a = \sqrt{x}\), и условие:
\[ a + b = -6 \]
Учитывая, что \(a > 0\), так как это корень, и \(a + b = -6\), то:
- \(a > 0\)
- \(a + b = -6\) — отрицательное число
Это возможно, только если \(b < 0\) и \(\left|b\right|\) больше \(a\).
Также, если \(a > 0\), то:
\[ a + b = -6 \implies b = -6 - a < 0 \]
В этом случае, все в порядке.
Шаг 9: Итоговая формула для ответа
Объявим, что \(a\) — произвольное число, удовлетворяющее условию (например, \(a > 0\) и \(a + b = -6\)), тогда:
\[ \boxed{ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4(a + 10.5)} } \]
Можно ли дальше упростить?
Можно оставить так, либо подставлять числовые значения, если есть конкретные условия.
Итальный ответ:
При условии \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = -6\), исходное выражение равно:
\[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4(a + 10.5)} \quad \text{где } a = \sqrt{x} > 0, \text{ и } a + b = -6 \]
или так:
\[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4a - 42} \]
Если хотите, могу помочь с конкретными значениями или дополнительно разобрать!
