9x-4y/3√x+2√y+5√y,если √x+√y=-6

Давайте разберем задачу пошагово. Задача: \[ \frac{9x - 4y}{3\sqrt{x} + 2\sqrt{y} + 5\sqrt{y}} \], при условии, что \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = -6\). --- **Шаг 1: Ввести новые переменные** Обозначим: \[ a = \sqrt{x} \] \[ b = \sqrt{y} \] Тогда: \[ x = a^2 \] \[ y = b^2 \] Перепишем исходное выражение через \(a\) и \(b\). --- **Шаг 2: Передача выражения в терминах \(a\) и \(b\)** Числитель: \[ 9x - 4y = 9a^2 - 4b^2 \] Знаменатель: \[ 3a + 2b + 5b = 3a + 7b \] Итак, исходное выражение: \[ \frac{9a^2 - 4b^2}{3a + 7b} \] При условии: \[ a + b = -6 \] --- **Шаг 3: Выразить числитель через сумму \((a + b)\)** Обратите внимание, что числитель — это разность квадратов: \[ 9a^2 - 4b^2 \] Может ли это быть факторизовано? Да, по формуле разности квадратов: \[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \] Применяем к числителю: \[ 9a^2 - 4b^2 = (3a)^2 - (2b)^2 = (3a - 2b)(3a + 2b) \] --- **Шаг 4: Вычислить или упростить выражение** Зная, что: \[ a + b = -6 \] Для дальнейшего упрощения нам нужно как-то связать \(3a - 2b\) и \(3a + 2b\). Рассмотрим сумму и разность этих выражений: - \(3a + 2b\) — это часть знаменателя. - \(3a - 2b\) — другая часть. Известно, что \(a + b = -6\). Постараемся выразить \(3a - 2b\) через \(a + b\). --- **Шаг 5: Выразить \(3a - 2b\) через \(a + b\)** Дополним систему: - \(a + b = -6\) Попробуем выразить \(b\): \[ b = -6 - a \] Теперь подставим в выражение \(3a - 2b\): \[ 3a - 2b = 3a - 2(-6 - a) = 3a + 12 + 2a = (3a + 2a) + 12 = 5a + 12 \] Тогда: \[ 3a + 2b = 3a + 2(-6 - a) = 3a - 12 - 2a = (3a - 2a) - 12 = a - 12 \] --- **Шаг 6: Переписать числитель и знаменатель** - Числитель: \[ (3a - 2b)(3a + 2b) = (5a + 12)(a - 12) \] - Знаменатель: \[ 3a + 7b \] Подставим \(b = -6 - a\): \[ 3a + 7b = 3a + 7(-6 - a) = 3a - 42 - 7a = (3a - 7a) - 42 = -4a - 42 \] --- **Шаг 7: Итоговое выражение** Тогда функция принимает вид: \[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4a - 42} \] или \[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4(a + 10.5)} \] --- **Шаг 8: Вспомогательные выводы** Важно помнить, что \(a = \sqrt{x}\), и условие: \[ a + b = -6 \] Учитывая, что \(a > 0\), так как это корень, и \(a + b = -6\), то: - \(a > 0\) - \(a + b = -6\) — отрицательное число Это возможно, только если \(b < 0\) и \(\left|b\right|\) больше \(a\). Также, если \(a > 0\), то: \[ a + b = -6 \implies b = -6 - a < 0 \] В этом случае, все в порядке. --- **Шаг 9: Итоговая формула для ответа** Объявим, что \(a\) — произвольное число, удовлетворяющее условию (например, \(a > 0\) и \(a + b = -6\)), тогда: \[ \boxed{ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4(a + 10.5)} } \] --- **Можно ли дальше упростить?** Можно оставить так, либо подставлять числовые значения, если есть конкретные условия. --- ### Итальный ответ: При условии \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = -6\), исходное выражение равно: \[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4(a + 10.5)} \quad \text{где } a = \sqrt{x} > 0, \text{ и } a + b = -6 \] или так: \[ \frac{(5a + 12)(a - 12)}{-4a - 42} \] --- Если хотите, могу помочь с конкретными значениями или дополнительно разобрать!