Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, у которого одна из диагоналей равна 17 см, а стороны равны 9 см и 10 см. Полная поверхность этого параллелепипеда содержит 334 см2. Найти объем.

Рассмотрим задачу по шагам, чтобы найти объем параллелепипеда. **Дано:** - Основание — параллелограмм, у которого одна диагональ равна 17 см. - Стороны основания: \(AB = 9 \text{ см}\), \(AD = 10 \text{ см}\). - Полная поверхность параллелепипеда: \(S_{\text{поверхности}} = 334 \text{ см}^2\). Нам нужно найти объем — \(V\). --- ### Шаг 1. Находим параметры основания — параллелограмма Обозначим: - Вершины основания: \(A, B, C, D\), - Векторы сторон: \(\vec{AB} = \vec{b}\), \(\vec{AD} = \vec{d}\). Из условия: - \(|\vec{b}| = 9 \text{ см}\), - \(|\vec{d}| = 10 \text{ см}\), - одна из диагоналей равна 17 см. Диагональ \(AC\) или \(BD\): \[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{b} + \vec{d} \quad \text{или} \quad \vec{BD} = \vec{b} - \vec{d}. \] Так как диагональ может быть любой из них, возьмём, например, диагональ \(AC\): \[ |\vec{AC}| = |\vec{b} + \vec{d}| = 17 \text{ см}. \] Используем формулу длины суммы векторов: \[ |\vec{b} + \vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{d}. \] Подставляем данные: \[ 17^2 = 9^2 + 10^2 + 2 \vec{b} \cdot \vec{d}. \] \[ 289 = 81 + 100 + 2 \vec{b} \cdot \vec{d}. \] \[ 289 = 181 + 2 \vec{b} \cdot \vec{d}. \] Откуда: \[ 2 \vec{b} \cdot \vec{d} = 108, \] \[ \boxed{ \vec{b} \cdot \vec{d} = 54. } \] --- ### Шаг 2. Найти площадь основания Площадь параллелограмма: \[ S_{\text{основания}} = |\vec{b} \times \vec{d}| = |\vec{b}| |\vec{d}| \sin \theta, \] где \(\theta\) — угол между \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\). Используем скалярное произведение: \[ \vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}| |\vec{d}| \cos \theta, \] следовательно, \[ \cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{d}}{|\vec{b}| |\vec{d}|} = \frac{54}{9 \times 10} = \frac{54}{90} = 0.6. \] Поскольку \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1\): \[ \sin \theta = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8. \] Тогда площадь основания: \[ S_{\text{основания}} = |\vec{b} \times \vec{d}| = |\vec{b}| |\vec{d}| \sin \theta = 9 \times 10 \times 0.8 = 72 \text{ см}^2. \] --- ### Шаг 3. Найти полную поверхность параллелепипеда Площадь боковых граней: сформированы тремя параллелограммами, каждая — произведение стороны основания на высоту \(h\). Общая площадь поверхности: \[ S_{\text{поверхности}} = 2 S_{\text{основания}} + \text{площадь боковых граней}. \] Формулы боковых граней: - Два параллелограмма: стороны 9 см и высота \(h\), площадь: \(2 \times 9 \times h = 18h\). - Два параллелограмма: стороны 10 см и высота \(h\), площадь: \(2 \times 10 \times h = 20h\). Всего: \[ S_{\text{поверхности}} = 2 \times 72 + (18h + 20h) = 144 + 38h. \] Из условия: \[ 144 + 38h = 334, \] \[ 38h = 190, \] \[ h = \frac{190}{38} = 5 \text{ см}. \] --- ### Шаг 4. Найти объем параллелепипеда Объем — это площадь основания, умноженная на высоту (перпендикулярный отрезок): \[ V = S_{\text{основания}} \times h = 72 \times 5 = 360 \text{ см}^3. \] --- ## Итог: \[ \boxed{ \text{Объем параллелепипеда} = \mathbf{360\, \text{см}^3}. } \]