Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, у которого одна из диагоналей равна 17 см, а стороны равны 9 см и 10 см. Полная поверхность этого параллелепипеда…

Рассмотрим задачу по шагам, чтобы найти объем параллелепипеда.

Дано:

• Основание — параллелограмм, у которого одна диагональ равна 17 см.
• Стороны основания: \(AB = 9 \text{ см}\), \(AD = 10 \text{ см}\).
• Полная поверхность параллелепипеда: \(S_{\text{поверхности}} = 334 \text{ см}^2\).

Нам нужно найти объем — \(V\).

---

Шаг 1. Находим параметры основания — параллелограмма

Обозначим:

• Вершины основания: \(A, B, C, D\),
• Векторы сторон: \(\vec{AB} = \vec{b}\), \(\vec{AD} = \vec{d}\).

Из условия:

• \(|\vec{b}| = 9 \text{ см}\),
• \(|\vec{d}| = 10 \text{ см}\),
• одна из диагоналей равна 17 см.

Диагональ \(AC\) или \(BD\):

\[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{b} + \vec{d} \quad \text{или} \quad \vec{BD} = \vec{b} - \vec{d}. \]

Так как диагональ может быть любой из них, возьмём, например, диагональ \(AC\):

\[ |\vec{AC}| = |\vec{b} + \vec{d}| = 17 \text{ см}. \]

Используем формулу длины суммы векторов:

\[ |\vec{b} + \vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2 + 2\vec{b} \cdot \vec{d}. \]

Подставляем данные:

\[ 17^2 = 9^2 + 10^2 + 2 \vec{b} \cdot \vec{d}. \]

\[ 289 = 81 + 100 + 2 \vec{b} \cdot \vec{d}. \]

\[ 289 = 181 + 2 \vec{b} \cdot \vec{d}. \]

Откуда:

\[ 2 \vec{b} \cdot \vec{d} = 108, \]

\[ \boxed{ \vec{b} \cdot \vec{d} = 54. } \]

---

Шаг 2. Найти площадь основания

Площадь параллелограмма:

\[ S_{\text{основания}} = |\vec{b} \times \vec{d}| = |\vec{b}| |\vec{d}| \sin \theta, \]

где \(\theta\) — угол между \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\).

Используем скалярное произведение:

\[ \vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}| |\vec{d}| \cos \theta, \]

следовательно,

\[ \cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{d}}{|\vec{b}| |\vec{d}|} = \frac{54}{9 \times 10} = \frac{54}{90} = 0.6. \]

Поскольку \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1\):

\[ \sin \theta = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8. \]

Тогда площадь основания:

\[ S_{\text{основания}} = |\vec{b} \times \vec{d}| = |\vec{b}| |\vec{d}| \sin \theta = 9 \times 10 \times 0.8 = 72 \text{ см}^2. \]

---

Шаг 3. Найти полную поверхность параллелепипеда

Площадь боковых граней: сформированы тремя параллелограммами, каждая — произведение стороны основания на высоту \(h\).

Общая площадь поверхности:

\[ S_{\text{поверхности}} = 2 S_{\text{основания}} + \text{площадь боковых граней}. \]

Формулы боковых граней:

• Два параллелограмма: стороны 9 см и высота \(h\), площадь: \(2 \times 9 \times h = 18h\).
• Два параллелограмма: стороны 10 см и высота \(h\), площадь: \(2 \times 10 \times h = 20h\).

Всего:

\[ S_{\text{поверхности}} = 2 \times 72 + (18h + 20h) = 144 + 38h. \]

Из условия:

\[ 144 + 38h = 334, \]

\[ 38h = 190, \]

\[ h = \frac{190}{38} = 5 \text{ см}. \]

---

Шаг 4. Найти объем параллелепипеда

Объем — это площадь основания, умноженная на высоту (перпендикулярный отрезок):

\[ V = S_{\text{основания}} \times h = 72 \times 5 = 360 \text{ см}^3. \]

---

Итог:

\[ \boxed{ \text{Объем параллелепипеда} = \mathbf{360\, \text{см}^3}. } \]