Мотоцикл за каждые 30 мин проезжает на 10000 метров меньше чем автомобиль и на путь 240 км тратит времени на 1 час больше чем автомобиль. найдите скорость автомобиля
Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг.
Дано:
- Мотоцикл за каждые 30 минут проезжает на 10 000 метров (10 км) меньше, чем автомобиль.
- Время, затраченное на путь 240 км, у мотоцикла больше времени, чем у автомобиля, на 1 час (60 минут).
Нужно найти скорость автомобиля.
Шаг 1: Обозначения
Обозначим:
- \( v_a \) — скорость автомобиля (км/ч),
- \( v_m \) — скорость мотоцикла (км/ч).
Шаг 2: Запись условий в виде уравнений
Условие 1:
"Мотоцикл за каждые 30 мин проезжает на 10 км меньше, чем автомобиль."
- За 30 минут (0,5 часа), мотоцикл проезжает: \( 0.5 v_m \),
- За это же время автомобиль — \( 0.5 v_a \).
Выходит, что за 0,5 часа:
\[ 0.5 v_a - 0.5 v_m = 10 \text{ км} \]
или умножим обе части на 2 для удобства:
\[ v_a - v_m = 20 \quad \text{(уравнение 1)} \]
Условие 2:
"На путь 240 км мотоцикл тратит времени на 1 час больше, чем автомобиль."
Обозначим:
- Время автомобиля на 240 км: \(\displaystyle t_a = \frac{240}{v_a}\),
- Время мотоцикла: \(\displaystyle t_m = \frac{240}{v_m}\).
Тогда из условия:
\[ t_m = t_a + 1 \]
Подставим выражения для времени:
\[ \frac{240}{v_m} = \frac{240}{v_a} + 1 \]
Шаг 3: Решение уравнений
Из уравнения 1:
\[ v_m = v_a - 20 \]
Подставим это выражение в уравнение времени:
\[ \frac{240}{v_a - 20} = \frac{240}{v_a} + 1 \]
Шаг 4: Решение уравнения
Перенесем \(\displaystyle \frac{240}{v_a}\) в левую сторону:
\[ \frac{240}{v_a - 20} - \frac{240}{v_a} = 1 \]
Для объединения дробей используем общий знаменатель:
\[ \frac{240 v_a - 240 (v_a - 20)}{v_a (v_a - 20)} = 1 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{240 v_a - (240 v_a - 4800)}{v_a (v_a - 20)} = 1 \]
В числителе:
\[ 240 v_a - 240 v_a + 4800 = 4800 \]
Значит:
\[ \frac{4800}{v_a (v_a - 20)} = 1 \]
Теперь умножим обе стороны на знаменатель:
\[ 4800 = v_a (v_a - 20) \]
Раскроем скобки:
\[ 4800 = v_a^2 - 20 v_a \]
Преобразуем уравнение:
\[ v_a^2 - 20 v_a - 4800 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Рассмотрим:
\[ v_a^2 - 20 v_a - 4800 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600 \]
Найдем корни:
\[ v_a = \frac{20 \pm \sqrt{19600}}{2} \]
\(\sqrt{19600} = 140\):
\[ v_a = \frac{20 \pm 140}{2} \]
Получаем два варианта:
- \(\displaystyle v_a = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80\) км/ч,
- \(\displaystyle v_a = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60\) км/ч (нельзя, скорость не может быть отрицательной).
Ответ:
Скорость автомобиля — 80 км/ч.
Если нужно, могу помочь с дальнейшими расчетами или объяснить подробнее любой из этапов.
