Реши это неравенство методом интервалов

Давайте решим неравенство методом интервалов пошагово:

[ \frac{(2x^2 - 6x + 9) \times (2x^2 + 3x - 5)}{x^3 \times (x - 8)^2 \times (4 - x)^3} \geq 0 ]

Шаг 1: Анализировать знак числителя и знаменателя

• В числителе: произведение двух многочленов [ N(x) = (2x^2 - 6x + 9) \times (2x^2 + 3x - 5) ]
• В знаменателе: многочлены или кубы [ D(x) = x^3 \times (x - 8)^2 \times (4 - x)^3 ]

Шаг 2: Найти нули числителя и знаменателя

Нули числителя:

1. (2x^2 - 6x + 9 = 0)

Решим через дискриминант:

[ D = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 9 = 36 - 72 = -36 < 0 ]

Нет реальных корней, следовательно, (2x^2 - 6x + 9 > 0) для всех (x).

2. (2x^2 + 3x - 5 = 0)

Дискриминант:

[ D = 3^2 - 4 \times 2 \times (-5) = 9 + 40 = 49 ]

Корни:

[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-3 \pm 7}{4} ]

• (x = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1)
• (x = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5)

Значит:

[ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \quad \text{при} \quad x = 1, -2.5 ]

Значения многочлена:

• Для больших (x), (2x^2 + 3x - 5 > 0), так как при очень больших (x) квадратичный член доминирует.

Нули знаменателя:

• (x = 0)
• (x = 8)
• (x = 4)

Обратите внимание, что в знаменателе есть множители ((x)), ((x-8)^2), ((4 - x)^3). Эти выражения равны 0 при соответствующих значениях.

Запишем:

• (x = 0) (делает знаменатель нулевым)
• (x = 8) (делает ((x-8)^2=0))
• (x=4) (делает ((4 - x)^3=0))

Шаг 3: Построить числовую ось и точки разбиения

Точки разделения:

• Нули числителя: (x = 1, -2.5)
• Нули знаменателя: (x=0, 4, 8)

Общий набор точек: (-2.5,\ 0,\ 1,\ 4,\ 8)

Разобьём числовую ось на интервалы:

• ((-\infty, -2.5))
• ((-2.5, 0))
• ((0, 1))
• ((1, 4))
• ((4, 8))
• ((8, +\infty))

Поскольку по знаку старшего многочлена - степень степеня числа, признаки знаков на промежутках изменяются в зависимости от дескриминанта и множителей.

Шаг 4: Определить знак числителя (N(x))

• (2x^2 -6x + 9>0) для всех (x), так как дискриминант отрицателен.
• (2x^2 + 3x - 5)

по знакам на интервалах:

• между корнями (x = -2.5) и (x=1): число многочлена отрицательное, так как он меняет знак при корнях (признак квадратичной функции).

Значит:

1. Для (x < -2.5): (2x^2 + 3x - 5 > 0)
2. между (-2.5) и (1): (< 0)
3. для (x > 1): (> 0)

Шаг 5: Анализ знака знаменателя

• (x): знак зависит от участка и плюсов или минусов

  • (x>0): (x>0)
  • (x<0): (x<0)

• ((x - 8)^2): всегда (\geq 0), равно нулю при (x=8), вне нуля — положительно.

• ((4 - x)^3):

  • для (x < 4): (4 - x > 0), куб тоже положительный.
  • для (x > 4): (4 - x < 0), куб отрицательный.
  • при (x=4): numerator и denominator равны нулю; в этом случае рассматриваем знак функции с точки зрения пределов.

Обратите внимание, что:

• при (x<0):

  [ x<0,\quad (x-8)^2>0,\quad (4 - x)>0 ]

• при (0<x<4):

  [ x>0,\quad (x-8)^2>0,\quad (4-x)>0 ]

• при (4<x<8):

  [ x>0,\quad (x-8)^2>0,\quad (4-x)<0 ]

• при (x>8):

  [ x>0,\quad (x-8)^2>0,\quad (4-x)<0 ]

Знак знаменателя: учитываем множители.

• (x): знак зависит от интервала

• ((x-8)^2): всегда (\geq 0), равно 0 в точке (x=8), знак всегда (\geq 0)

• ((4-x)^3):

  • положительно, когда (x<4)
  • отрицательно, когда (x>4)

Шаг 6: Итоговая таблица знаков