Точки M, N, E и K последовательно расположены на окружности в указанном порядке, делят ее на дуги, градусные меры которых относятся, как 2:3:5:8. Дуга MN наименьшая. Найдите…

Давайте подробно разберём задачу пошагово.

Задача: На окружности расположены точки M, N, E и K последовательно. Они делят окружность на четыре дуги, мер которых связаны отношением 2 : 3 : 5 : 8.
Дуга MN – наименьшая. Найти градусную меру дуги ME.

Шаг 1. Обозначение дуг и условных мер

Обозначим длины дуг, соответствующие этим отношениям:

• Дуга MN – её градусная мера: \( x \)
• Дуга NO – \( 3x \)
• Дуга OE – \( 5x \)
• Дуга EK – \( 8x \)

Обрана общая сумма дуг окружности: \[ x + 3x + 5x + 8x = 17x \]

Поскольку сумма всех дуг окружности равна 360°, получаем: \[ 17x = 360^\circ \] \[ x = \frac{360^\circ}{17} \]

Шаг 2. Определение мер дуг

Теперь найдем конкретные градусные меры дуг:

• Дуга MN: \( x = \frac{360^\circ}{17} \)
• Дуга NO: \( 3x = 3 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{1080^\circ}{17} \)
• Дуга OE: \( 5x = 5 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{1800^\circ}{17} \)
• Дуга EK: \( 8x = 8 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{2880^\circ}{17} \)

Шаг 3. Расположение точек на окружности

Путём продвижения по дугам:

• От точки M до N: дуга \( x \)
• От N до E: дуга \( 3x \)
• От E до K: дуга \( 5x \)
• От K до M: дуга \( 8x \)

Точка N идет после M на дуге \( x \), затем E — после N на дуге \( 3x \), и так далее, по порядку.

Шаг 4. Расположение точки E относительно M

• Дуга от M до N: \( x \)
• Дуга от N до E: \( 3x \)

Значит, дуга от M до E (через N): \( x + 3x = 4x \)

Поскольку дуга от M до N — наименьшая (по условию), это подтверждает, что \( x \) — минимальная дуга.

Шаг 5. Найти дугу ME

• Дуга от M до E (пересекающая точки N на пути) равна \( 4x \).

Поскольку дуга ME — это дуга, прямо идущая от M к E, она включает дугу через N, то есть сумма дуг: \[ \text{дуга ME} = \text{дуга MN} + \text{дуга NO} \]

или через точку N: \[ \text{дуга ME} = x + 3x = 4x \]

Итак, градусовая мера дуги ME равна \( 4x \):

\[ 4x = 4 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{1440^\circ}{17} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{1440^\circ}{17} } \]

А можно оставить как дробь или приблизительно посчитать: \[ \frac{1440}{17} \approx 84.7^\circ \]

Итак, градусная мера дуги ME равна \(\frac{1440^\circ}{17}\) или примерно 84.7°.