Точки M, N, E и K последовательно расположены на окружности в указанном порядке, делят ее на дуги, градусные меры которых относятся, как 2:3:5:8. Дуга MN наименьшая. Найдите градусную меру дуги ME. Ответ дайте в градусах.

Давайте подробно разберём задачу пошагово. **Задача:** На окружности расположены точки M, N, E и K последовательно. Они делят окружность на четыре дуги, мер которых связаны отношением 2 : 3 : 5 : 8. Дуга MN – наименьшая. Найти градусную меру дуги ME. --- ### Шаг 1. Обозначение дуг и условных мер Обозначим длины дуг, соответствующие этим отношениям: - Дуга MN – её градусная мера: \( x \) - Дуга NO – \( 3x \) - Дуга OE – \( 5x \) - Дуга EK – \( 8x \) Обрана общая сумма дуг окружности: \[ x + 3x + 5x + 8x = 17x \] Поскольку сумма всех дуг окружности равна 360°, получаем: \[ 17x = 360^\circ \] \[ x = \frac{360^\circ}{17} \] --- ### Шаг 2. Определение мер дуг Теперь найдем конкретные градусные меры дуг: - Дуга MN: \( x = \frac{360^\circ}{17} \) - Дуга NO: \( 3x = 3 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{1080^\circ}{17} \) - Дуга OE: \( 5x = 5 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{1800^\circ}{17} \) - Дуга EK: \( 8x = 8 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{2880^\circ}{17} \) --- ### Шаг 3. Расположение точек на окружности Путём продвижения по дугам: - От точки M до N: дуга \( x \) - От N до E: дуга \( 3x \) - От E до K: дуга \( 5x \) - От K до M: дуга \( 8x \) Точка N идет после M на дуге \( x \), затем E — после N на дуге \( 3x \), и так далее, по порядку. ### Шаг 4. Расположение точки E относительно M - Дуга от M до N: \( x \) - Дуга от N до E: \( 3x \) Значит, дуга от M до E (через N): \( x + 3x = 4x \) Поскольку дуга от M до N — наименьшая (по условию), это подтверждает, что \( x \) — минимальная дуга. ### Шаг 5. Найти дугу ME - Дуга от M до E (пересекающая точки N на пути) равна \( 4x \). Поскольку дуга ME — это дуга, прямо идущая от M к E, она включает дугу через N, то есть сумма дуг: \[ \text{дуга ME} = \text{дуга MN} + \text{дуга NO} \] или через точку N: \[ \text{дуга ME} = x + 3x = 4x \] Итак, **градусовая мера дуги ME** равна \( 4x \): \[ 4x = 4 \times \frac{360^\circ}{17} = \frac{1440^\circ}{17} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{1440^\circ}{17} } \] А можно оставить как дробь или приблизительно посчитать: \[ \frac{1440}{17} \approx 84.7^\circ \] **Итак, градусная мера дуги ME равна \(\frac{1440^\circ}{17}\) или примерно 84.7°**.