Учитель запрограммировал компьютер так, чтобы тот выдавал квадратное уравнение х +bx+** = 0, где числа b и с выбираются случайно и независимо друг от друга из числового отрезка от…

Давайте подробно разберем задачу и найдем вероятность того, что случайное квадратное уравнение вида \( x^2 + bx + c = 0 \) имеет корни.

Шаг 1: Что нужно понять?
Для того, чтобы уравнение имело корни (причем — действительные), его дискриминант должен быть неотрицательным:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашей задаче \( a = 1 \), поэтому формула упрощается до:

\[ D = b^2 - 4c \]

Чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо:

\[ D \geq 0 \implies b^2 - 4c \geq 0 \]

или

\[ c \leq \frac{b^2}{4} \]

Шаг 2: Распределение случайных величин

• \( b \) выбирается равномерно из интервала \([-10, 10]\)
• \( c \) выбирается равномерно из интервала \([-10, 10]\)

Размеры интервалов: длина - 20 (от -10 до 10).

Область выбора \((b, c)\) — это квадрат со стороной 20 на 20 на координатной плоскости \([-10, 10] \times [-10, 10]\).

Шаг 3: Вычисляем области, соответствующие условию
Для каждого значения \( b \) нужно определить часть диапазона \( c \), при котором уравнение имеет корни:

\[ c \leq \frac{b^2}{4} \]

• Не забываем, что \( c \) ограничен диапазоном \([-10, 10]\).
• Если \(\frac{b^2}{4} \leq 10\), то условие — \( c \leq \frac{b^2}{4} \).
• Если \(\frac{b^2}{4} > 10\), значение \( c \leq 10 \), и условие выполняется для всех \( c \in [-10, 10] \).

Рассмотрим случайное значение \( b \) и определим долю допустимой области.

Шаг 4: Анализ по \( b \)

1. Когда \( \frac{b^2}{4} \leq 10 \): \[ b^2 \leq 40 \implies |b| \leq \sqrt{40} \approx 6.324 \]

   В этом диапазоне, условие для \( c \):

   \[ c \in [-10, \frac{b^2}{4}] \]

   — часть интервала \([-10, 10]\).

2. Когда \( \frac{b^2}{4} > 10 \): \[ |b| > \sqrt{40} \]

   В этом случае, весь диапазон \( c \in [-10, 10] \) удовлетворяет условию.

Шаг 5: Вычисление вероятности

Вероятность равна отношению площади допустимой области к общей площади квадрата \(20 \times 20\).

1. Для \( |b| \leq \sqrt{40} \):

   • \(b\) равномерно по \([-10, 10]\).

   • Для каждого \(b\) допустимая длина по \( c \):

     \[ \text{длина} = \frac{b^2}{4} - (-10) = \frac{b^2}{4} + 10 \]

     — потому что \(c\) варьируется от \(-10\) до \(\frac{b^2}{4}\).

2. Для \( |b| > \sqrt{40} \):

   • Длина по \( c \):

     \[ 10 - (-10) = 20 \]

   — весь диапазон.

Расчеты:

• \(b\) — равномерно по \([-10, 10]\).
• Используем интеграл для определения площади допустимой области:

\[ \text{Площадь} = \int_{b=-10}^{10} \text{длина по } c \, db \]

разделим по диапазонам:

\[ \text{Площадь} = \int_{b=-\sqrt{40}}^{\sqrt{40}} \left(\frac{b^2}{4} + 10\right) db + \int_{|b| > \sqrt{40}} \text{(длина по } c) db \]

Длина по \( c \) в втором случае — 20.

Т.к. функция симметрична относительно \(b\), воспользуемся симметрией:

\[ \text{Площадь} = 2 \times \int_{0}^{\sqrt{40}} \left(\frac{b^2}{4} + 10\right) db + 2 \times \int_{\sqrt{40}}^{10} 20 db \]

Общая площадь квадрата:

\[ A_{\text{всего}} = 20 \times 20 = 400 \]

Шаг 6: Вычисление интеграла

1. Первый интеграл:

\[ I_1 = 2 \times \int_{0}^{\sqrt{40}} \left(\frac{b^2}{4} + 10\right) db \]

Рассмотрим:

\[ \int_{0}^{\sqrt{40}} \frac{b^2}{4} db + \int_{0}^{\sqrt{40}} 10 db \]

Вычислим по частям:

\[ \int_{0}^{\sqrt{40}} \frac{b^2}{4} db = \frac{1}{4} \times \frac{b^3}{3} \bigg|_0^{\sqrt{40}} = \frac{1}{12} \left(\sqrt{40}\right)^3 \]

\[ \left(\sqrt{40}\right)^3 = ( \sqrt{40} )^3 = (40^{1/2})^3 = 40^{3/2} = 40 \times \sqrt{40} \]

Аналогично:

\[ \int_{0}^{\sqrt{40}} 10 db = 10 \times \sqrt{40} \]

Общая сумма:

\[ I_1 = 2 \left[ \frac{1}{12} \times 40 \times \sqrt{40} + 10 \times \sqrt{40} \right] = 2 \left[ \frac{40 \sqrt{40}}{12} + 10 \sqrt{40} \right] \]

\[ = 2 \left[ \frac{10 \sqrt{40}}{3} + 10 \sqrt{40} \right] = 2 \left[ \frac{10 \sqrt{40} + 30 \sqrt{40}}{3} \right] = 2 \times \frac{40 \sqrt{40}}{3} = \frac{80 \sqrt{40}}{3} \]

2. Второй интеграл:

\[ I_2 = 2 \times \int_{\sqrt{40}}^{10} 20 db = 2 \times 20 \times (10 - \sqrt{40}) = 40 (10 - \sqrt{40}) \]

Общая допустимая площадь:

\[ \text{Площадь допустимой области} = I_1 + I_2 = \frac{80 \sqrt{40}}{3} + 40 (10 - \sqrt{40}) \]

Теперь выражение для вероятности:

\[ P = \frac{\text{допустимая площадь}}{\text{общая площадь}} = \frac{\frac{80 \sqrt{40}}{3} + 40 (10 - \sqrt{40})}{400} \]

Эту формулу можно оставить в этом виде или приблизительно вычислить:

• \(\sqrt{40} \approx 6.3246\)

Подставим:

\[ \frac{80 \times 6.3246}{3} + 40 (10 - 6.3246) = \frac{80 \times 6.3246}{3} + 40 \times 3.6754 \]

\[ = \frac{506.368}{3} + 147.016 \approx 168.789 + 147.016 = 315.805 \]

Следовательно,

\[ P \approx \frac{315.805}{400} \approx 0.7895 \]

Ответ: приблизительно 0.79 или 79%.

---

Если нужно — можно дать более точное выражение, но основная идея и расчет уже показаны.