Учитель запрограммировал компьютер так, чтобы тот выдавал квадратное уравнение х +bx+** = 0, где числа b и с выбираются случайно и независимо друг от друга из числового отрезка от -10 до 10. Найдите вероятность того, что квадратное уравнение, которое выдаст компьютер, имеет корни.

Давайте подробно разберем задачу и найдем вероятность того, что случайное квадратное уравнение вида \( x^2 + bx + c = 0 \) имеет корни. **Шаг 1: Что нужно понять?** Для того, чтобы уравнение имело корни (причем — действительные), его дискриминант должен быть неотрицательным: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашей задаче \( a = 1 \), поэтому формула упрощается до: \[ D = b^2 - 4c \] Чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо: \[ D \geq 0 \implies b^2 - 4c \geq 0 \] или \[ c \leq \frac{b^2}{4} \] **Шаг 2: Распределение случайных величин** - \( b \) выбирается равномерно из интервала \([-10, 10]\) - \( c \) выбирается равномерно из интервала \([-10, 10]\) Размеры интервалов: длина - 20 (от -10 до 10). Область выбора \((b, c)\) — это квадрат со стороной 20 на 20 на координатной плоскости \([-10, 10] \times [-10, 10]\). **Шаг 3: Вычисляем области, соответствующие условию** Для каждого значения \( b \) нужно определить часть диапазона \( c \), при котором уравнение имеет корни: \[ c \leq \frac{b^2}{4} \] - Не забываем, что \( c \) ограничен диапазоном \([-10, 10]\). - Если \(\frac{b^2}{4} \leq 10\), то условие — \( c \leq \frac{b^2}{4} \). - Если \(\frac{b^2}{4} > 10\), значение \( c \leq 10 \), и условие выполняется для всех \( c \in [-10, 10] \). Рассмотрим случайное значение \( b \) и определим долю допустимой области. **Шаг 4: Анализ по \( b \)** 1. Когда \( \frac{b^2}{4} \leq 10 \): \[ b^2 \leq 40 \implies |b| \leq \sqrt{40} \approx 6.324 \] В этом диапазоне, условие для \( c \): \[ c \in [-10, \frac{b^2}{4}] \] — часть интервала \([-10, 10]\). 2. Когда \( \frac{b^2}{4} > 10 \): \[ |b| > \sqrt{40} \] В этом случае, весь диапазон \( c \in [-10, 10] \) удовлетворяет условию. **Шаг 5: Вычисление вероятности** Вероятность равна отношению площади допустимой области к общей площади квадрата \(20 \times 20\). 1. Для \( |b| \leq \sqrt{40} \): - \(b\) равномерно по \([-10, 10]\). - Для каждого \(b\) допустимая длина по \( c \): \[ \text{длина} = \frac{b^2}{4} - (-10) = \frac{b^2}{4} + 10 \] — потому что \(c\) варьируется от \(-10\) до \(\frac{b^2}{4}\). 2. Для \( |b| > \sqrt{40} \): - Длина по \( c \): \[ 10 - (-10) = 20 \] — весь диапазон. Расчеты: - \(b\) — равномерно по \([-10, 10]\). - Используем интеграл для определения площади допустимой области: \[ \text{Площадь} = \int_{b=-10}^{10} \text{длина по } c \, db \] разделим по диапазонам: \[ \text{Площадь} = \int_{b=-\sqrt{40}}^{\sqrt{40}} \left(\frac{b^2}{4} + 10\right) db + \int_{|b| > \sqrt{40}} \text{(длина по } c) db \] Длина по \( c \) в втором случае — 20. Т.к. функция симметрична относительно \(b\), воспользуемся симметрией: \[ \text{Площадь} = 2 \times \int_{0}^{\sqrt{40}} \left(\frac{b^2}{4} + 10\right) db + 2 \times \int_{\sqrt{40}}^{10} 20 db \] Общая площадь квадрата: \[ A_{\text{всего}} = 20 \times 20 = 400 \] **Шаг 6: Вычисление интеграла** 1. Первый интеграл: \[ I_1 = 2 \times \int_{0}^{\sqrt{40}} \left(\frac{b^2}{4} + 10\right) db \] Рассмотрим: \[ \int_{0}^{\sqrt{40}} \frac{b^2}{4} db + \int_{0}^{\sqrt{40}} 10 db \] Вычислим по частям: \[ \int_{0}^{\sqrt{40}} \frac{b^2}{4} db = \frac{1}{4} \times \frac{b^3}{3} \bigg|_0^{\sqrt{40}} = \frac{1}{12} \left(\sqrt{40}\right)^3 \] \[ \left(\sqrt{40}\right)^3 = ( \sqrt{40} )^3 = (40^{1/2})^3 = 40^{3/2} = 40 \times \sqrt{40} \] Аналогично: \[ \int_{0}^{\sqrt{40}} 10 db = 10 \times \sqrt{40} \] Общая сумма: \[ I_1 = 2 \left[ \frac{1}{12} \times 40 \times \sqrt{40} + 10 \times \sqrt{40} \right] = 2 \left[ \frac{40 \sqrt{40}}{12} + 10 \sqrt{40} \right] \] \[ = 2 \left[ \frac{10 \sqrt{40}}{3} + 10 \sqrt{40} \right] = 2 \left[ \frac{10 \sqrt{40} + 30 \sqrt{40}}{3} \right] = 2 \times \frac{40 \sqrt{40}}{3} = \frac{80 \sqrt{40}}{3} \] 2. Второй интеграл: \[ I_2 = 2 \times \int_{\sqrt{40}}^{10} 20 db = 2 \times 20 \times (10 - \sqrt{40}) = 40 (10 - \sqrt{40}) \] Общая допустимая площадь: \[ \text{Площадь допустимой области} = I_1 + I_2 = \frac{80 \sqrt{40}}{3} + 40 (10 - \sqrt{40}) \] Теперь выражение для вероятности: \[ P = \frac{\text{допустимая площадь}}{\text{общая площадь}} = \frac{\frac{80 \sqrt{40}}{3} + 40 (10 - \sqrt{40})}{400} \] Эту формулу можно оставить в этом виде или приблизительно вычислить: - \(\sqrt{40} \approx 6.3246\) Подставим: \[ \frac{80 \times 6.3246}{3} + 40 (10 - 6.3246) = \frac{80 \times 6.3246}{3} + 40 \times 3.6754 \] \[ = \frac{506.368}{3} + 147.016 \approx 168.789 + 147.016 = 315.805 \] Следовательно, \[ P \approx \frac{315.805}{400} \approx 0.7895 \] **Ответ:** приблизительно **0.79** или **79%**. --- Если нужно — можно дать более точное выражение, но основная идея и расчет уже показаны.