Расставьте знаки препинания. Укажите все цифры, на месте которых должны стоять запятые. Что может быть лучше(1) чем зимой войти в дом или квартиру(2) прикоснуться(3) замёрзшими…

Рассмотрим предложение по частям и расставим знаки препинания, особенно запятые, указывая номера тех слов или цифр, на месте которых должна стоять запятая.

Текст:
Что может быть лучше(1) чем зимой войти в дом или квартиру(2) прикоснуться(3) замёрзшими руками(4) к батарее и перестать дрожать от холода?
К сожалению(5) имя человека(6) которого нужно благодарить за создание такой нужной вещи(7) как радиатор отопления(8) за давностью лет забыто.
Так часто случается с открытиями и изобретениями(9) ставшими по-настоящему необходимыми.

Разберем каждое предложение по частям:

Первое предложение:

"Что может быть лучше(1) чем зимой войти в дом или квартиру(2) прикоснуться(3) замёрзшими руками(4) к батарее и перестать дрожать от холода?"

Здесь нужна запятая после части "что может быть лучше" перед "чем зимой войти...", потому что здесь придаточное с сравнением (частица "чем" вводит придаточную).
Также, после "квартира(2)" — это однородный член, после "руками(4)" — тоже часть, не требующая запятой внутри.

Правильная пунктуация:
"Что может быть лучше, чем зимой войти в дом или квартиру, прикоснуться замёрзшими руками к батарее и перестать дрожать от холода?"

Запятые на местах:

• После "лучше" (номер 1) — обязательная запятая, чтобы выделить придаточное "чем зимой войти в дом..."
• После "квартиру(2)" — запятая перед "прикаснуться..." — так как это однородные части, соединённые союзом "и" (не обязательно, но желательно для ясности).
• После "руками(4)" — эта запятая не обязательна, так как дальше идёт продолжение без союзов. В данном случае можно не ставить, так как это продолжение однородных сказуемых "прикаснуться... и перестать..."

ИТОГ:
Запятые: (1), (2)

Второе предложение:

"К сожалению(5) имя человека(6) которого нужно благодарить за создание такой нужной вещи(7) как радиатор отопления(8) за давностью лет забыто."

Здесь имеется причастное или относительное придаточное "которого нужно благодарить...". В русском языке такое придаточное вставляется внутри существительного "имя человека" и выделяется запятыми:
"имя человека, которого нужно благодарить за создание..."

Также, запятую ставим после "К сожалению", так как это вводное слово.

Пунктуация:
"К сожалению, имя человека, которого нужно благодарить за создание такой нужной вещи, как радиатор отопления, за давностью лет забыто."

Запятые на местах:

• После "К сожалению," (5)
• После "человека" (6)
• После "вещи" (7)
• Перед "как радиатор отопления" — вводное сравнительное уточнение — запятая перед "как", так как "как радиатор отопления" — сравнительный оборот, относящийся к "вещи".

ИТОГ:
Запятые: (5), (6), (7), (8)

Общее заключение:

Обозначенные запятые:

• (1) — после "лучше"
• (2) — после "квартиру"
• (5) — после "К сожалению"
• (6) — после "имя человека"
• (7) — после "вещи"
• (8) — после "радиатор отопления"

Итоговая расстановка запятых:

"Что может быть лучше, чем зимой войти в дом или квартиру, прикоснуться замёрзшими руками к батарее и перестать дрожать от холода?
К сожалению, имя человека, которого нужно благодарить за создание такой нужной вещи, как радиатор отопления, за давностью лет забыто."

Если нужно, могу дать более подробное объяснение каждого пункта.