В полном графе количество рёбер 378. Сколько в нём вершин?

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:
Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены ребром.
Обозначим количество вершин графа как \( n \).
Известно, что число рёбер в полном графе равно 378.

Формула для полного графа:
Количество рёбер в полном графе с \( n \) вершинами (обозначим его как \( K_n \)) равно:
\[ \frac{n(n-1)}{2} \]

Это потому, что каждые две вершины соединяет ровно одно ребро, а всего таких пар — это сочетания из \( n \) по 2:

\[ \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \]

Задача:
Найти \( n \), если число рёбер равно 378:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 378 \]

Шаг 1:
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

\[ n(n-1) = 756 \]

Шаг 2:
Перепишем уравнение:

\[ n^2 - n = 756 \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ n^2 - n - 756 = 0 \]

Это квадратное уравнение.

Шаг 3:
Решим его через дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a=1 \), \( b=-1 \), \( c=-756 \).

Вычисляем дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-756) = 1 + 3024 = 3025 \]

Шаг 4:
Находим корни уравнения:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{3025}}{2} \]

\(\sqrt{3025} = 55\).

Значит,

\[ n = \frac{1 \pm 55}{2} \]

Рассмотрим оба варианта:

• \( n = \frac{1 + 55}{2} = \frac{56}{2} = 28 \)
• \( n = \frac{1 - 55}{2} = \frac{-54}{2} = -27 \)

Поскольку число вершин не может быть отрицательным, выбираем \( n = 28 \).

Ответ:
В полном графе с 378 рёбрами — это граф с 28 вершинами.