Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены ребром.
Обозначим количество вершин графа как ( n ).
Известно, что число рёбер в полном графе равно 378.
Формула для полного графа:
Количество рёбер в полном графе с ( n ) вершинами (обозначим его как ( K_n )) равно:
[
\frac{n(n-1)}{2}
]
Это потому, что каждые две вершины соединяет ровно одно ребро, а всего таких пар — это сочетания из ( n ) по 2:
[
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}
]
Задача:
Найти ( n ), если число рёбер равно 378:
[
\frac{n(n-1)}{2} = 378
]
Шаг 1:
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:
[
n(n-1) = 756
]
Шаг 2:
Перепишем уравнение:
[
n^2 - n = 756
]
Перенесем все в левую сторону:
[
n^2 - n - 756 = 0
]
Это квадратное уравнение.
Шаг 3:
Решим его через дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a=1 ), ( b=-1 ), ( c=-756 ).
Вычисляем дискриминант:
[
D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-756) = 1 + 3024 = 3025
]
Шаг 4:
Находим корни уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{3025}}{2}
]
(\sqrt{3025} = 55).
Значит,
[
n = \frac{1 \pm 55}{2}
]
Рассмотрим оба варианта:
- ( n = \frac{1 + 55}{2} = \frac{56}{2} = 28 )
- ( n = \frac{1 - 55}{2} = \frac{-54}{2} = -27 )
Поскольку число вершин не может быть отрицательным, выбираем ( n = 28 ).
Ответ:
В полном графе с 378 рёбрами — это граф с 28 вершинами.
